不等式与推理证明重点直击

在高考中，不等式与推理证明是密不可分的，前者考查知识点，后者考查方法的灵活应用.不等式与推理证明内容丰富，涉及考题变化万千.在复习这一内容时，只有抓住重点方可事半功倍，以下重点内容值得同学们特别关注.

一、一元二次不等式恒成立问题

要点解析

一元二次不等式恒成立的条件：

（1）不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立a=b=0，c>0，或a>0，Δ0，b>0，c>0，且a+b+c=1，

∴1a+1b+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc

=3+ba+ca+ab+cb+ac+bc

=3+（ba+ab）+（ca+ac）+（cb+bc）

≥3+2+2+2=9.

当且仅当a=b=c=13时，取等号.

故答案：9.

类题通法：

（1）知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：①具备条件――正数；②验证等号成立.

（2）知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件.

（3）构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.

（4）利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数（或式）均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.

四、不等式的证明

要点解析

证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法等，最常见的有比较法、综合法和分析法，这三种方法要求我们能熟练应用.此外，构造函数，利用导数研究该函数的单调性，并利用函数的单调性证明不等式，是高考压轴题中常见的题型，我们也应掌握. 题型分析

1.比较法证明不等式

例8设a，b是非负实数，求证：a3+b3≥ab（a2+b2）.

证明：由a，b是非负实数，作差得

a3+b3-ab（a2+b2）=a2a（a-b）+b2b（b-a）=（a-b）（（a）5-（b）5），

当a≥b≥0时，a≥b，从而（a）5≥（b）5，得（a-b）（（a）5-（b）5）≥0；

当0≤a0.

（b+c）+（c+a）≥2（b+c）（c+a）>0，

三式相乘得①式成立，故原不等式得证.

类题通法：分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.

3.综合法证明不等式

例10已知a，b，c∈R+，且互不相等，且abc=1.

求证：a+b+c1x1+1x2+1x3+…+1xn

≥nn1x1x2x3…xn.

∵nx1x2x3…xn≤x1+x2+x3+…xnn=1n，

∴n1x1x2x3…xn≥n，

∴1x1-x31+1x2-x32+1x3-x33+…+1xn-x3n>n2≥22=4，

∴1x1-x31+1x2-x32+1x3-x33+…+1xn-x3n>4.

类题通法：放缩法证明不等式时，常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性.缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头.

5.利用函数单调性证明不等式

例12证明不等式lnx>2（x-1）x+1，其中x>1.

证明：设f（x）=lnx-2（x-1）x+1（x>1），

所以f′（x）=1x-4（x+1）2=（x-1）2x（x+1）2，

因为x>1，所以f′（x）>0，又f（x）在[1，+∞）上是连续变化的，故f（x）在[1，+∞）内为单调递增函数.

又因为f（1）=0，且当x>1时，f（x）>f（1），即lnx-2（x-1）x+1>0，所以lnx>2（x-1）x+1.

类题通法：利用导数方法证明不等式f（x）>g（x）在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h（x）=f（x）-g（x），然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h（x）>0，其中一个重要技巧就是找到函数h（x）在什么时候可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口.