探析新形势下概率论方法在数学分析中的应用

摘 要：从个别物体到整体，从古代社会到现代社会，从山到水，从空气到物体，从人到人……世间万物中的种种都有其存在的原理与价值，而人与动物最本质的区别在于人的独有智慧，在于人类对世界的探索。这个过程中产生了实践，产生了学科，产生了知识。而广义上的“数学”在这个过程中起到了不可替代的作用，它提供了计算的工具和方法，打开了探索世界的大门。数学发展历史悠久，且出现了很多分支，这其中接触最多的，上大学必须掌握的便是狭义上的数学分析，即所谓的微积分，它是以函数为研究对象的学科，在寻找自身发展逻辑的同时，也探索着其他更广的领域。

关键词：微积分；概率论；数学分析

概率论作为数学领域的一个重要分支，主要是研究某些确定的现象，然而新形势下也可以研究某些确定的现象。鉴于此，它与其他数学分支的关系也是越来越密切。概率论研究的主要问题是可能性问题，比如，投掷一枚硬币，出现正面的情况占多大比例；在小黑箱中放入同样大小质量的个数都为一的三种不同颜色的球，白色、黑色、红色，问只准摸一次，摸到白球的概率是多大……这种事件是很多的。那怎样将它运用到微积分中呢？这里我从以下方面来总结两者的关系。

一、概率论能很好地解决微积分中关于极限的问题

在复杂的微积分求极限问题中，直接用数学分析方法是非常困难的，但如果用上概率论中的相关定理则复杂的问题会变的简单。概率论中有中心极限定理、大数定理、泊松分布等，他们的运用克服了微积分出现不可解问题的缺陷，使得看似困难的问题迎刃而解，给不可行问题多了一条求生的路。这里有三种题型可供参考：

1.一个未知数与和的乘积等于一个数列，求数列无穷趋向于一个数。这里要先把讨论的问题与泊松分布结合起来，然后用中心极限定理就可得出结果。

2.已知未知数x等于一个方程式，求有x的另一个复杂方程式的和的极限。这是一种比较复杂的极限问题，用一般方法很难解出，利用独立同分布的中心极限定理和密度极限定理求极限的方法算出即可。

3.关于多重积分的问题。该类问题由于运算次数很多，一般的方法基本上无法求出，而用大数定律作为理论基础，可获得n重积分（n很大时）的近似值，即得到n重积分的极限。其实这样的题目还有很多，这里就不一一列举了，总结一下就是在以后的微积分题目中可以适当运用概率论中的相关定理，这样既简便又快捷。

二、概率论能很好地解决微积分中关于积分的问题

都知道积分知识是在微积分中学到的，那么概率论在这方面与微积分又有什么联系呢？有如下题型：

1.已知区域为一个椭圆，求一个在该区域上的二重积分。如若用微积分思想只能是通过换元，将二重积分转换为二次积分得到结果，但其过程是非常复杂晦涩的，如果通过构造二维正态分布，避免换元，只需要短短几个公式就可以得到结果，何乐而不为？

2.证明一个积分的平方等于一个常数。概率论中正态分布是一个复杂但又非常特殊的函数，它的构造可以解决很多问题。将一个函数表示成正态分布的形式，那么我们可以很快得出其期望、方差及积分，那么后面的问题就可以迎刃而解了。善于利用正态分布是非常有必要的。关于积分的问题需要从概率分布入手，尤其注意正态分布，并利用其数字特征，积分问题就很好地解决了。

三、概率论能很好地解决微积分中关于恒等式问题

恒等式一般有三种形式，借助概率论中的古典概率模型、巴拿赫火柴问题及二次分布概率模型，能提供不一样的思路解决此类问题。

1.证明常数加上由m、n组成的式子等于m与n的比值。这里可通过构造古典概率模型用概率论方法便可以很好地解决，且思路非常新颖。

2.证明未知式子的和等于一个常数。可将其变成一个实际的例子，将n项和变成一个实际问题，如比赛问题，那么问题便会变的简单直观，且别出心裁。

3.巴拿赫火柴问题是非常经典的问题，再加上引入的巴拿卡分布，会使这类问题变得非常简单。

复杂的恒等式直接证明是非常困难的，但如果我们将其构造成一个概率模型，并将其与实际例子结合起来，便会很容易理解。

四、概率论能很好地解决微积分中关于不等式的问题

其关键是根据不同的问题建立相应的随机概率模型，再利用密度函数、概率直接的相关性质给出答案。这类问题我就不在这里细讲了，其思路与上面所讲类型有异曲同工之处。

其实还有很多微积分问题能与概率论问题联系起来，数学分支本来就是相通的。只要细心一点，多看题，多做题，多思考，将学过的知识联系起来。换一种思路，也许就会有意想不到的结果。概率论与微积分本身就有着密切联系，只是我们很容易忽略掉。如今出现了很多关于数学新的观点和新的理论，为我们解决数学问题提供了更加广阔的视野，更好地将概率论应用到数学分析中。

参考文献：

[2]乌力吉.极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法[J].安徽冶金科技职业学院学报，2010

（1）.