等比级数在幂级数与概率计算中的应用

等比级数，又称等比数列的前n项和，几何级数，多使用于台湾地区。等比级数公式：S=a+aq+aq^2++aq^(n-1)=a(1-q^n)/(1-q)

摘要：等比级数是高等数学的教学重点之一，在函数的幂级数求和函数以及概率的某些计算中起着重要的作用。介绍了利用等比级数求幂级数和函数以及概率计算的常见情形，并给出了具体的例子。

关键词：等比级数;概率计算;幂级数

等比级数虽然是一个重要级数，但笔者多年的教学发现，学生在直接应用级数时还可以，但应用到幂级数就不能把变量x看做常数，看不出两者关系。同时，在概率中涉及到很多计算，这其中有很多是跟等比级数有关，学生缺乏这种把知识融会贯通的能力;而在以往的教学中，有些教师对这个重视不够，而有的老师只是单独专注于自己的学科(微积分或概率)。基于这种情况下，笔者通过典型例题，阐述它们的关系，使学生达到活学活用。

等比级数又称为几何级数，

SymboleB@ n=0aqn=a+aq+aq2++aqn+(a0)。

若q1，有limn

一、等比级数线性运算性质的直接应用

例1：把一个球从a米高下落到地平面上，球每次落下距离h碰到地平面再跳起距离rh，其中r是小于1的正数，求这个球上下的总距离。

解：总距离是 s=a+2ar+2ar2+2ar3+=a+2ar1-r=a(1+r)1-r。

例2：把循环小数5.232323表示成两个整数之比。

=5+2310010.99=51899

例3：求级数

SymboleB@ )。

在收敛域(-1，1)内，有：

解：所求级数的和是幂级数

SymboleB@ n=1xn-1=11-xx(-1，1)，两边积分，得：

x0s(x)dx=x011-xdx=-ln(1-x)，即s(x)-s(0)=-ln(1-x)。

又因s(0)=0，所以s(x)=-ln(1-x)，故所求原级数的和为：

s(13)=-ln(1-13)=ln32

例7：已知某自动生产线一旦出现不合格品就立即进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格品的概率是0.1，如果用X表示两次调整之间生产出的产品数，则求EX。

P{X=k}=P{调整后生产出的产品前k-1格为合格品，第k个为不合格品}

=P{A1Ak-1Ak}，

其中Ai=第i个生产出的产品为合格品，Ai相互独立。

P(Ai)=0.9，P{X=k}=0.9k-10.1

EX=SymboleB@ k=1xk)=0.1(x1-x)=0.1(1-x)2

综上所述，学生在应用等比级数时要能透过现象看本质，利用好这个级数，对我们求幂函数的和以及好多概率计算起到非常重要的作用。

参考文献：