相似中的分类讨论思想

将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法.纵观近年中考试题，涉及相似三角形对应关系的试题屡见不鲜.在处理三角形相似的问题中，分类讨论思想显得尤为重要，本文举例说明分类讨论思想在相似三角形中的应用.

例1、D是等腰△ABC边AB上一点，AB=AC=6，BC=3，BD=4，过D点画直线DE，点E在射线BC上，使△ABC和△BDE相似，这样的三角形可以画几个？并在图中画出线段DE.

分析：由题，∠B是△ABC与△BDE的公共角，要使△ABC和△BDE相似，则有：

（2）当∠B=∠BE2D时，△BCA∽△BDE2，，∵AB=6，BC=3，BD=4，∴解得BE2=8.

综上所述，当BE=2或BE=8时，△ABC与△BDE相似.

例2、在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD・DC，则∠BCA的度数为 .

分析：由于题目中未告知△ABC的形状，因此满足题设条件的高AD可能在△ABC内部，也可能在△ABC外部.

（1）当高AD在△ABC内部时，如图1：

因为AD2=BD・DC，所以.又因∠ADB=∠CDA，所以△ADB∽△CDA，所以∠BAD=∠ACD.因为∠CAD+∠ACD=90°，所以∠CAD+∠BAD=90°.这时由∠B=25°可知∠BCA=65°.

（2）当高AD在△ABC外部时，如图2：

同理可得△ADB∽△CDA，所以∠ABD=∠CAD=25°，所以∠ACD=65°.这时∠BCA=180°-∠ACD=115°.

例3、如图AB⊥BD，CD⊥BD.若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？

分析：设BP=x，∠B=∠D=90°， 要使△PAB和△PCD相似，则有：

，∴x2-lx+mn=0，△=l2-4mn.当△4mn时，存在两个点P使得△PAB2∽△PDC.

综上所述，当l24mn时，存在三个点P使△PAB和△PCD相似.

总之，解答此类问题，一定要注意保持思维的缜密性，谨防以偏概全的漏解错误.分类讨论要明确分类标准，做到不重复不遗漏.