数学物理方程课程教学的实践与认识

数学物理方程主要指从物理学和其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程[1]。它是数学理论联系实际问题的一个重要桥梁。数学物理方程课程就是通过讲授三类典型的数学物理方程（即波动方程，热传导方程和调和方程）的导出、定解问题的求解以及解的性质的探讨来培养学生掌握基本的数学物理方程的理论、方法和技巧，形成理性思维品质以及具有较高的分析和解决实际问题的能力，为后续课程的学习或者从事相关工作奠定基础。

目前，数学物理方程课程是国内众多高校数学类有关专业本科生的一门重要的专业基础课，同时也是物理、力学和土木等理工科专业本科生或研究生的一门专业必修课。然而在这门课教与学的过程中，学生普遍反映难学，教师普遍反映难教。究其原因，主要有以下几个方面：（1）该课程涉及的专业知识多。学习这门课程需要学生事先掌握数学分析线性代数常微分方程复变函数与大学物理等课程的有关知识。（2）该课程的理论性强、计算量大。在介绍三类典型方程定解问题的求解过程中，会有许多数学理论和方法，其计算过程往往复杂、冗长，学生易产生畏难情绪。（3）学生缺乏运用数学知识解决实际问题的能力。这直接导致学生反映作业难度大。针对这些问题，笔者结合自身的教学实践，谈谈对这门课教学的一些做法和体会。

1 督促学生复习相关基础知识

学习数学物理方程课程，需要学生具备较好的数学和物理基础，即要预先掌握上面提到的一些基础课程的相关知识。例如在讲授三类典型方程的导出时，频繁用到数学分析中二重与三重积分、曲面积分、Green公式和场论初步等知识；讲授用分离变量法求解三类方程的定解问题时，需要求解二阶齐次常微分方程的特征值问题；讲授用Fourier变换法求解热传导方程的Cauchy问题时，需要学生会利用复变函数中的Cauchy积分定理来求解已知函数的Fourier逆变换。学生虽已学过这些知识，但可能没有学好或者遗忘。因此在讲授这些内容前，都要督促学生提前复习有关基础知识，这对课堂教学起到了重要的铺垫作用。否则，学生听课就会感到费解，从而逐渐失去学习兴趣。另外，教师在介绍三类方程的导出时，应带领学生及时回顾有关物理知识，如冲量定理和热量守恒定律等，这都有利于学生的理解。

2 结合课程特点讲授内容，突出重点

2.1 突出课程的主要内容

在课程内容的选择上，应根据专业特点及培养方案，精选经典的内容，淘汰复杂难懂的内容。在课时较少的情况下，更应如此。以数学系信息与计算科学专业该课程的教学为例，应重点讲授三类方程的导出、定解问题的提法、定解问题的适定性理论、解的性质以及解的物理意义这些内容；详细讲解行波法、分离变量法、Fourier变换法和格林函数法。通过例题讲解和习题训练让学生牢固掌握这些方法，这有利于培养学生分析、解决实际问题的能力。

2.2 突出讲授最基本的数学思想

在讲授课程内容的过程中，应突出讲授其中蕴含的最基本的数学思想，即转化思想。它是将各种复杂的或者未知的问题通过适当的变换转化为简单的或者已知的问题，从而最终解决原问题。数学物理方程课程教学过程中广泛体现了这一数学思想，例如在讲三类方程的导出时，我们从实际问题出发，抓住主要因素，忽略次要因素，从而将实际问题转化为数学模型；在讲分离变量法时，我们利用线性方程的叠加原理，将偏微分方程的边值问题转化为常微分方程的特征值问题来进行求解；在解非齐次方程的有关定解问题时，我们利用齐次化原理将其转化为齐次方程的情形处理，等等。转化思想充分体现了人们不断化繁为简、化难为易、化未知为已知的认识过程[2]。突出讲授这一数学思想，可以培养学生掌握科学的思维方法，从而提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。

2.3 突出有关内容的物理背景

数学物理方程主要来源于物理学和工程技术学科中，从每一类方程的导出到基本概念的建立，到解决问题的方法，最后到解的物理意义的阐述，无不与有关物理现象紧密相连。因此讲授这门课，要讲清楚有关内容的物理背景。这样某些数学概念和结果就有了直观性，既有利于学生理解和记忆，又有助于培养学生的数学想象力。比如在讲授二维和三维波动方程初值问题解的物理意义时，从数学表达式上可以推出三维情形下的解满足Huygens原理，二维情形的解反映出波的传播具有弥散现象。然而由于数学理论的抽象性，学生通常难以理解。如果结合生活中声音的传播和水波的例子分别加以说明，学生便不难理解其内容。

2.4 突出课程知识体系的统一性

数学物理方程课程的内容繁多，突出知识体系的统一性能让学生更好地从整体上把握这门课程的结构。而实现这一点，笔者认为关键是要强调该课程中人们处理问题的基本思路，即从实际问题出发，通过数学建模来导出数学物理方程，再根据实际问题来提一些定解条件，进而研究方程定解问题的适定性以及解的性质，最后利用所得到的数学理论来解决有关实际问题。这一基本思路贯穿于这门课教学的主要内容。教材[1]中所介绍的三类典型方程的数学理论均是按照这一思路展开的。在总结各类方程的知识时，可按照定解问题的提出、定解问题的适定性以及解的性质这几个方面将有关知识点统一起来。

3 运用多种教学方法与手段，提高学生的学习兴趣

数学物理方程课程的理论性强，其计算或证明的过程往往繁且难，单一的灌输式教学容易使学生失去学习兴趣。因此在课堂上，我们应采用多种教学方法和教学手段来提高学生的学习兴趣，调动他们学习的积极性和主动性。

首先，要实施启发式教学。教师在教学过程中，应坚持以学生为主体，采用引导和类比的方法，启法学生自觉思考，让他们独立地发现知识。为此，教师可以在问题的引入、语言的运用和板书的设计等方面精心组织安排，创设问题情境。比如在讲授完用分离变量法来求解波动方程具第一类边界条件的初边值问题后，自然要提问：如何对具有第二、第三类边界条件以及混合边界条件来求解？进一步地，此方法能否用到热传导方程的初边值问题和调和方程的边值问题中？这样学生的思路就会打开，起到了举一反三的效果[3]。

其次，利用多媒体辅助教学。数学物理方程中有许多复杂的公式和结论，可以利用多媒体进行演示，这样可以节省很多课堂时间，从而将更多的时间安排在重、难点的处理和师生互动的环节。课程中定理的证明和主要的求解方法还是应该详细地板书。此外，利用多媒体可以形象、生动地演示一些生活实例，这样可以提高学生的学习兴趣。

最后，适当补充一些学科前沿知识以拓宽学生的知识面。例如在讲Fourier变换时，可以简单地介绍下Fourier分析在信号分析和图像处理中的应用；在讲扩散方程时，可介绍下描述生物种群趋化性现象的Keller-Segel模型；在讲调和方程时可以介绍有关斑点形成等知识。这些既开阔了学生的视野，又激发了他们进一步学习的欲望。