《数学物理方程》教学的几点体会

引言

《数学物理方程》以来源于物理、化学、力学等自然科学和工程技术领域的偏微分方程（组）作为主要研究对象，系统地介绍数学模型的导出和各类定解问题的求解方法，讨论三类典型方程的适定性基本理论，对提高数学专业人才的数学素养起到十分重要的作用，服务工科学科的功能异常显著。数学学科本身各分支联系日趋密切，数学物理方程是沟通数学各分支的重要桥梁，其中最典型的就是微分几何①。有别于其他课程，《数学物理方程》把数学理论、解题方法和实际应用紧密结合起来了，对培养大学生的科学素养和研究能力有极大的功效。因此，无论从理论还是从应用来看，《数学物理方程》课程都是一门十分重要的基础课程。为此，各高校纷纷建立网络精品课程[1-2]，对教学方式、方法加以改进。教学研究论文亦层出不穷[3-4]。

然而，《数学物理方程》始终是本科理科和工科专业课程中的硬骨头，学生在学习之初兴趣浓烈，随着课程深入，积极性马上降温，期末成绩普遍不太理想。究其原因，我们将其归结为如下几点：第一，课程的知识点多，涉及面极其广泛，学好这门课程十分辛苦;第二，对于数学专业学生而言，不熟悉物理背景知识导致理解困难，对于工科学生而言，数学基础欠缺导致学习吃力;第三，这个课程主要以偏微分方程为研究对象，数学推导过程繁琐，所得到的结果形式复杂，往往以积分或者级数形式表达，其中还免不了使用三角函数或者特殊函数，学生容易产生畏难情绪;第四，该课程与数学其他分支如《数学分析》、《常微分方程》等课程联系密切，学习过程中新旧知识衔接不畅，学习积极性受挫。

本文针对上述分析得出的问题症结，梳理所积累的教学经验，提出五点想法，以期在《数学物理方程》教学改革中抛砖引玉。在课程教学实践中提高学生的主观能动性、增强学生的学习能力， 是我们一直努力坚守的事业，热切期盼本课程成为一门生动的、充满现代气息的课程。

1 个人体会（教学改革方法与措施）

1.1 加强背景故事介绍，增强趣味性

兴趣是最好的老师，提高复杂知识的趣味性可以大大提高学生学习兴趣。数学物理方程中所研究的几类方程的导出都经历了一个漫长的过程，甚至富有曲折的故事情节，例如Russell与KdV方程的导出就是一个很精彩的故事。此外，达朗贝尔（dAlembert）对弦振动方程，Fourier对热传导方程的研究过程所折射出的科学精神也是特别值得向学生介绍的。现举两例加以说明。

热传导方程：Fourier在1807年就提交了第一篇关于热传导的论文，当时Laplace（1749-1827）和Lagrange（1736-1813）等人是评阅人，Fourier在1811年呈上修改过的论文，并得到奖金，但未发表在当时法国科学院《报告》上，1922年Fourier发表了他的名著《热的解析理论》，两年后Fourier成为科学院秘书，把1811年修改过的论文，发表在科学院《报告》。《热的解析理论》该书研究了有限长杆上的热传导方程的混合初边值问题的解，并用今天熟知的分离变量法将解写成级数。最后一部分讨论半无限长杆上的温度分布，得到Fourier积分，也就是Fourier变换。

这样一个充满戏剧性的故事可以立刻提高将学生学习兴趣。有心的教师还可以借此机会给学生适当渗透思想教育，教育学生不要愤世嫉俗，人情冷暖古今中外概莫能免，以平常心面对社会现实乃明智之举。

KdV方程：1834年英国科学家Russell在第十四届科学进展大会（14th meeting of the British Association for the Advancement of Science）上以《论波动》（Report on Waves）为题生动地描述了他是如何发现孤立波的。因为这个发现在当时看来太违背常理，多次遭到当时权威人物的否定。可是，Russell在自家后花园建立池塘力图重复自己所看到的场景，虽然最终未能实现，科学精神足以让人敬仰。

如果老师用英语深情重现Russell在第十四届科学进展大会报告的情景，效果将是可以预期的（此处作为资料给出这段话：I was observing the motion of a boat which was rapidly drawn along a narrow channel by a pair of horses， when the boat suddenly stopped not so the mass of water in the channel which it had put in motion; it accumulated round the prow of the vessel in a state of violent agitation， then suddenly leaving it behind， rolled forward with great velocity， assuming the form of a large solitary elevation， a rounded， smooth and well-defined heap of water， which continued its course along the channel apparently without change of form or diminution of speed. I followed it on horseback， and overtook it still rolling on at a rate of some Eight or nine miles an hour， preserving its original figure some thirty feet long and a foot to a foot and a half in height. Its height gradually diminished， and after a chase of one or two miles I lost it in the windings of the channel. Such， in the month of August 1834， was my first chance interview with that singular and beautiful phenomenon which I have called the Wave of Translation[5].）。

1.2 注意前后课程衔接，化解理解困难

《数学物理方程》除了与现实联系紧密，还与其他数学分支关系密切。与《数学物理方程》联系最为紧密的课程莫过于《数学分析》，《常微分方程》。可是，这些课程本身难度大，《数学物理方程》中用到的知识点也是当中的难点，例如散度定理，链式法则，常系数高阶常微分方程的求解等。

《数学物理方程》是高年级课程，数学学科的环环相扣的特征决定了老师授课必须适时注意回顾旧知识，只有做好、做足承上启下的衔接工作，学生听课才不至于脑子断电。

例1 在讲分离变量法时，必须及时给学生回顾《常微分方程》中的常系数方程求解方法，否则，分离变量所得的常微分方程的求解也会被卡住。又比如《数学分析》中的Fourier级数展开定理本身就不容易记住，如果不及时回顾，学生很有可能在最终确定级数解的系数时不知所以然，而在求解的最后一步卡住。

例2 在讲授能量不等式之前，必须花一定时间全面总结《数学分析》中的积分定理，即Green公式，Gauss公式，Stokes公式等。尤其必要补充《数学分析》课后习题中给出的[6]

■■■udu=■■■ds

以及Green第一恒等式：

■■■vud=-■■■[■■+■■]d+■■v■ds

和Green第二恒等式：

■■■[uv-vu]d=■■[u■-v■]ds

甚至一般的散度定理。我们的经验是专门制作一个课时的课件系统地加以介绍。

例3 回顾常微分方程的通解结构，帮助理解记忆偏微分方程通解结构。给学生交待：对于常微分方程而言，方程是几阶的，它的通解中就包含几个任意常数。据此引导学生类比得出：对于偏微分方程而言，方程是几阶的，它的通解中就包含几个任意函数。此外，结合数学分析，在课程开始阶段引导学生推出如下简单微分方程的通解也是极其必要的。

ux（x，y）=0的通解：u（x，y）=f（y），（1）

其中f（）为任意连续可微函数;

uxy（x，y）=0的通解：u（x，y）=f（x）+g（y）（2）

其中f（），g（）为任意连续可微函数。

1.3 挖掘物理背景，提高记忆效果

《数学物理方程》相对其他数学基础课程的优势在于应用性，每一个公式，每一条定理都来源于物理规律。把物理背景交代清楚，学生理解和记忆方面的困难便可大大减轻，学习兴趣也会明显提升。例如波动方程的推导，既可以用牛顿第二定律F=ma推导，也可以根据动量守恒定律冲量=动量改变量推导;由于热量从温度高的地方流向温度低的地方，所以热传导方程关于时间是不可逆的。教师结合物理规律来讲解，学生结合熟识的物理规律来学习和记忆，自然事半功倍。而且可以帮助学生将短时记忆变成长时记忆。

再举个具体的例子，初学者对哪怕形式最简单的初边值问题

■（3）

也是望而生畏的。我们的经验是，通过用F=ma和冲量=动量改变量两个物理规律建立方程的过程，学生对弦振动建模已有较深的认识，只是对附加的初、边值条件很茫然，此时不宜立刻进入达朗贝尔公式和分离变量法来求解。这里我们可以设计例题讲解初值条件和三类边界条件，使之认清定解条件的物理意义，就可以加强印象，既深化了对整个弦振动模型式（3）的理解，又可帮助记忆。

初值条件的认识：

例1 在d处将弦拉到h处静止（如图），则初始位置（x）有表达式：

例2 弦静止于平衡位置，经敲击后开始振动，求初始位移（x）和速度？准（x）。

三类边界条件的认识：

例1（Dirichlet条件） 长为l的弦两端固定，则u（0，t）=u（l，t）=0。

例2（Neumann条件） 弦的端点自由滑动，即端点不受垂直方向力的作用，从而张力在垂直方向的分量为零，即ux（0，t）=ux（l，t）=0。

例3（Robin条件） 弦的端点固定在弹性支撑上（弹性系数分别设为k1，k2）。根据胡克（Hooke）定律，

x=0∶T0ux（0，t）=k1u（0，t）？圯ux（0，t）-■u（0，t）=0

x=l∶T0ux（l，t）=k2u（l，t）？圯ux（0，t）-■u（0，t）=0

在上述特殊例子讲解的基础上，再总结出三类边界条件，学生往往就可以接受了。

1.4 突出问题实质，绕开复杂计算、证明

《数学物理方程》的计算和证明都是异常复杂的，基础稍差的学生就有可能因为畏惧困难而中途放弃。对于高年级学生，点拨思路远比公式演算重要，他们已经脱离了计算的阶段了，因为那不是数学的本质。《数学物理方程》求解的一个基本的原则就是化偏微分方程为常微分方程[4]，分离变量法，Fourier变换法，Laplace变换法无不体现这一原则，讲课过程中应集中精力引导学生化偏微分方程为常微分方程，而不是把时间精力耗费在具体的计算上。变分法思想其实就是求泛函的极值点，这是又一个本质的东西，教师应根据函数极值的求法，引导学生找驻点并最终解决问题，计算当然是次要的东西。因此有经验的教师往往会只讲结构和思路，抓住问题本质，给予学生方法论的引导，才能稳定其情绪，帮助建立信心。下面举个具体例子来说明。

对于

ut-aux=0（4）

通过变换：

=x-at，=x+at，

可将方程式（3）化成

u，）=0（5）

从式（1）发现其通解为：

u（x，y）=f（x-at）（6）

据此，对于波动方程

utt-a2uxx=0（7）

可以联想到完全平方式，形式上将其分解[7]

（ut-aux）（ut+aux）=0

学生立即可以根据式（6）去推测式（7）的通解形式：

u（x，y）=F（x-at）+G（x+at）

在上述处理过程中，避免了由式（7）化成u（）=0的十分复杂的过程，但是，上述求解过程也并没有忽略了这种变量替换的思想，实际上包含在由式（4）化为式（5）的过程中了。

1.5 借助数学软件辅助教学，培养应用数学物理方程的意识

Matlab，Maple，Mathematic等数学软件都具有强大的处理微分方程的能力，例如Matlab工具箱中的PDE包可以用于求解三类典型二阶偏微分方程的定解问题，掌握起来容易，使用起来方便②，还可以通过图像直观地演示所得的解[8]。Matlab还有强大的符号运算能力，也可以用于求解通解。其实符号运算功能Maple比Matlab稍胜一筹。如果教学过程中教师能现场演示一两个例子，并布置相关习题，学生积极性可以极大地调动起来，还可以激发学生主动运用微分方程解决实际问题的意识。

2 结语

教学有法，教无定法，教学理论改革往往仁者见仁，智者见智，教学实践改革也是八仙过海、各显神通。教学改革不要拘泥于形式，套用邓小平同志经济改革经验之谈：白猫黑猫能逮住耗子的就是好猫，可谓是恰如其分。而且，他人成功经验往往不可复制。所以，教学改革是没有止境的，怎么研究都不过分，这就是教学改革的困扰之所在，也是教学改革的魅力之所在。本文只是个人经验的总结，其适用面的大小无法预知，能够起到抛砖引玉之功效，便心满意足了！