从东、西方文化看勾股定理的起源

从东、西方文化看勾股定理的起源

数学界的学者普遍认为勾股定理是数学发展史上的里程碑，但是，如果人们要考究这个定理的起源，则常常会感到迷惑。在西方人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯;而在东方中国西汉或更早时期的天文历算著作《周髀算经》第一章中已有了勾股定理的记述。笔者认为，无论是西方文化还是我们东方文化，在不同的时期､不同的地点发现的这同一性质，显然不仅仅是哪一个民族的私有财产而是我们全人类的共同财富。

一､东方的勾股定理:商高定理

《周髀算经》(见图2)(成书于公元1世纪)第一章中指出:昔者周公(注:公元前11世纪周武王的大臣)问于商高(注:学者)曰:“窃闻科大夫善数也，请问古者包牺立周历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出?”商高曰:“数之法，出于方圆。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五……”。

其主要意思是，周公问:“我听说你对数学非常精通，我想请教一下:天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么关于天的高度和地面的一些测量的数据是怎么样得到的呢?”商高回答说“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理:当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。”这就是“勾三､股四､弦五”的由来。

《周髀算经》里还这样记载:周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益长。候勾六尺，即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而观之，室正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径寸，故此勾为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日，则八万里。这段文字描述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上进行实践。

钱伟长教授对这段文字作了详细的说明:“……商高，陈子等利用立竿(即周髀)测定日影，再用勾股法推算日高的方法。周髀高八尺，在镐京(今西安附近)一带，夏至日太阳影长一尺六寸，再正南千里，影长一尺五寸。正北千里，影长一尺七寸。祖先天才地用测量日影的办法，推算了夏至日太阳离地的斜高，用同理测定了冬至日的太阳斜高。又取中空竹管，径一寸长八尺，用来观测太阳，我们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线，于是用太阳的斜高和勾股的原则，推算太阳的直径。这些测定的数据虽然非常粗略，和实际相差很远，但在三千年前那样早的年代，有这样天才的创造和实践的观测精神，是我们应该学习的。”

基于上述渊源，所以我们把这一定理叫做“勾股定理”或“商高定理”。这是中国最早关于勾股定理的书面记载。

二､西方的勾股定理:毕达哥拉斯定理

在西方的文献中，勾股定理一直以古希腊哲学家毕达哥拉斯的名字来命名。但迄今为止并没有毕达哥拉斯发现和证明勾股定理的直接证据。希腊另一位数学家欧几里德(Euclid，公元前三百年左右的人)在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。

毕达哥拉斯(Pythagoras)(图4)是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年，在天文学､哲学及音乐理论方面也有很深造诣。毕达哥拉斯大约与我国的孔子是同时代的人，他出生于爱琴海上的萨摩斯岛。早年多方游历，曾到达埃及､巴比伦等地，师从许多数学家学习数学､天文学知识。回到家乡后，毕达哥拉斯开始招收弟子，聚众讲学。大约在公元前520年，毕达哥拉斯不满于当政者的暴政，离开家乡，迁往意大利南部的一个小岛，并在那里定居下来。在小岛上安顿下之后，毕达哥拉斯重新开始广收门徒，逐渐创立了著名的毕达哥拉斯学院。

关于对毕达哥拉斯定理的证明，现在人类保存下来的最早的广为流传的文字资料是欧几里得(公元前300年左右)所著的《几何原本》第一卷中的命题47:“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和。”其证明是用面积来进行的。

如图5，在直角三角形ABC各边上向外作正方形，连接CD､FB。

因为AC=AF，AB=AD，∠FAB=∠CAD，所以△FAB≌△CAD。

作CL∥AD，

值得指出的是，由于《几何原本》的广泛流传，欧几里得的证明是勾股定理所有证明中最为著名的，为此，希腊人称之为“已婚妇女的定理”;法国人称之为“驴桥问题”;阿拉伯人称之为“新娘图”､“新娘的坐椅”;在欧洲，又有人称之为“孔雀的尾巴”或“大风车”等，这些可能是从其几何图形得到的灵感吧!

(参考文献本刊略)

(责任编辑 陈国庆)