圆锥曲线与平面向量的交汇

由于平面向量具有代数和几何形式的双重身份，这就使其成为表述圆锥曲线问题的重要载体.因此在向量与圆锥曲线的交汇处设计试题，已经逐渐成为各省市考查的热点之一. 本文就这一类问题进行分析，以便同学们能够准确地理解这类问题，掌握解决的方法和技巧.

求轨迹的方程

分析 将向量表达式转化成代数表达式，消去参数[α，β]得到[C]的轨迹方程.

解 设[C（x，y）]，由[OC=αOA+βOB]得，

[x=3α-β，y=2α+6β，][∵][α2+β2=1]，

[∴4x2+y2=36α2-24αβ+4β2+4α2+24αβ+36β2]

[=40（α2+β2）=40].

求字母[λ]的值

（1）求双曲线[C]的标准方程；

分析 第一问先设出双曲线方程，然后利用已知条件求出. 第二问通过设两点坐标，然后利用韦达定理和微量关系式，求出[λ]的值.

又双曲线过点[P（6，6）]，即[C：36a2-36b2=1]，

解得[a2=9，b2=12，]

[∴]双曲线[C]的方程为[x29-y212=1.]

（2）[∵]直线[l]经过点[（0，1）]，且与双曲线有两交点，

[∴][l]的斜率存在，

[（4-3k2）x2-6kx-39=0]，

[∵]直线[l]与双曲线有两交点，

[∴4-3k2≠0，Δ>0，] 解得[k22.]

[∴a=2，c=1，b=1.]

[∴]曲线[E]的方程为[x22+y2=1].

（2）①当直线[GH]的斜率存在时，设直线[GH]的方程为[y=kx+2]，代入椭圆方程[x22+y2=1]得，

由[Δ>0]得，[k2>32.]

又[FG=λFH]，

[∵k2>32]，[∴4