浅谈镜像法的理论基础及解题步骤

【摘 要】 本文首先阐述了镜像法的基本理论基础，其次分析了运用镜像法的解题步骤，最后对镜像法做出总结。

【关键词】 镜像法 唯一性定理 解题步骤

镜像法是电动力学中一种重要的计算方法，许多复杂问题使用该方法求解都会很简便，所以准确理解该方法对于解决相应问题有着重要的意义。本文就对镜像法的理论基础和解题步骤进行了详细的分析。

1 镜像法的理论基础 ― 唯一性定理

利用镜像法解题的理论基础是唯一性定理[1]，唯一性定理的内容为：它指出了静态场边值问题具有唯一解的条件，在边界面上的任一点只需给定或的值，而不能同时给定两者的值。现简单介绍一下有导体存在时的唯一性定理。

当有导体存在时，由实践经验我们可以知道，为了确定电场，所需要满足的条件有两种类型：一类是给定每个导体上的电势，另一类是给定每个导体上的总电荷。

为了简单，我们只讨论区域内只含一种均匀介质的情形。如图1所示，假设在某区域内有一些导体，我们把除去导体内部后的区域称为，则的边界条件包括界面及每个导体的表面。设内有给定电荷分布，上给定或值，对于上述第一类问题，给定了电势，即给出了所有边界上的或值，因而内的电场唯一的被确定。

对于第二种类型的问题，唯一性定理表述如下[2]：

在某一区域V内有一些导体，各导体的电势=常数（如图所示），V内给定自由电荷分布，且在V的外边界上或给定，则V内电场唯一确定。写成数学表达式便为：

导体外满足泊松方程：，在第i个导体上满足总电荷条件：和等势面条件：，且或，则V内电场唯一的被确定。

由镜像法解静态场问题中，我们可以看出，利用镜像法解题的理论基础是唯一性定理和电势叠加原理。在从中应用唯一性定理，解决场的边值问题，而在求解过程中我们也常用到理想模型。在这里我们要注意几点：（a）镜像法只是对特定的区域才有效，镜像电荷必须放在研究的场域外；（b）放置像电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在，把整个空间看成是无界的均匀空间，并且其介电常数就是我们所研究的场域的介电常数；（c）像电荷是为了便于计算虚构出来的，事实上并不存在像电荷，它具有等效作用，而它的电量也并不一定等于真实的感应或极化电荷的电量；（d）镜像法的适应范围是：①场区域的电荷是点电荷，无限长带电直线；②导体或介质的边界面必须是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。镜像法不仅可用于静电场，而且也可以用于静磁域或讯变电磁场[3]。

2 镜像法的解题步骤

在利用镜像法求解问题时，我们需要按照一定的步骤来逐步的进行分析求解。例如，当点电荷距无限大接地导体平面距离为a时，我们在求空间中的电势时：首先我们就要看看，在点电荷作用下会不会出现感应电荷，当点电荷为正时，则产生的感应电荷为负。那么空间中的电场就是由点电荷和导体板上的感应电荷共同激发的，而在总电场作用下感应电荷分布达到一种平衡，接下来我们就要分析，达到平衡就是导体的静电平衡条件，即导体表面为一等势面，所以我们就要正确写出它的边界条件即。知道了边界条件，我们就要看看像电荷的位置及大小是怎样的？设想在导体板下方与电荷对称的位置上放置一个假想的电荷，然后把导体板抽去。若，则给定电荷与假象电荷共同激发的电场即为所求得电场。取导体的平面研究，则位置为，设镜像电荷位于导体内的位置为，则可写出了电势的解析形式，即在的区域内电势为：；（如图2）

其中，r表示到场点的距离，表示镜像电荷到场点的距离，选到导体板上的投影点为坐标原点，则，。

当时，边界条件为，则，

可化简为：，

即：，

或者可以写成另一种形式：，

在这个式子里，对于任意的恒成立，这个式子的唯一解为，，因为像电荷在导体板下方，所以舍去正号解。这样就可以推出镜像电荷的大小及它的位置了。它的大小及位置为，。

因此，。这样我们就根据镜像法简便的解出了所要求的电势。

从上面对这个例题的分析过程中，我们就可以总结出利用镜像法进行解题时的几个大致步骤：（a）确定是否满足边界条件；（b）正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；（c）根据给定的场域边界上的边界条件计算像电荷的电量及所在位置和个数；（d）由已知电荷及像电荷写出势的解析形式；（e）根据需要求出电势[4]。

3 结语

本文在查阅大量资料的基础上详细叙述了镜像法的理论基础，通过例题分析了使用该方法的解题步骤，不仅弥补了教材的不足，同时为同学们熟练掌握镜像法起了重要的辅助作用。

参考文献：

[1]郭硕红.电动力学[M].第二版.北京高等教育出版社，1997.

[2]赵凯华，陈熙谋.电磁学[M].高等教育出版社，2003.

[4]王广泰.磁像法在解静磁场边值问题中的应用[J].大学物理，2004.