伯努利兄弟(上)
17世纪末，牛顿和莱布尼茨独立地发明了微积分，从此数学进入到高等数学阶段.高等数学“高”在哪里呢？我想至少有两点值得注意：一是高等数学难学难懂，不像中学学的那个初等数学.是个脑袋就能学会.从小学到中学的12年，年年都得学数学，可学过来学过去还是初等数学.也就是算术、代数、几何、三角、概率、统计，到解析几何已经算是登峰造极了.初等数学中当然也有难题，比如数独、奥数什么的，最难的当然是中学生国际数学奥林匹克（IMO）了.30年来中国的数学尖子在那上面几乎是年年拿名次、拿金牌，这说明中国中学生的数学头脑还真不错.可是一到高等数学，也就是18、19、20世纪的数学，中国学生的水平就有不小的差距了.为什么？难嘛！而且其难度不能和初等数学同日而语，它需要天才性的创造.二是高等数学十分有用.世界上难学难懂的东西多的是.例如只有少数人使用的语言以及佛经等，这些东西呀少数人去学习、研究就可以了，用处不算太大.可是高等数学却是进入现代自然科学之门的钥匙.没有微积分和其后发展出来的微分方程与数学分析，那就没办法解释牛顿力学，更得不出什么电磁波（从电视到手机都得靠它），也不会有数值天气预报.因此，现在上大学要学理工科的话就非得啃高等数学不可，不喜欢数学或害怕学、讨厌学数学的学生那就只好学文科喽.不过。有的文科，像经济、金融等也得学高等数学.“金融数学”非常前沿，要不然那些投资家怎么能赚够那么多钱、那么招恨呢？
大家知道，牛顿是最伟大的科学家，他一只手创建了牛顿力学.另一只手创建了微积分.虽然他也是最伟大的数学家之一，但他的数学着眼于应用，并没有建立起一套完整的数学理论体系.这就忙坏了18世纪和19世纪的数学家，他们一方面要发展牛顿的微积分，另一方面要为“数学分析”建立一个严格的基础.这项工作一直到了19世纪末才正式宣告完成.这两个世纪，至少有100位数学家为有关的事情做出过贡献.
我们还是先从18世纪讲起.谈起近代史，人们往往总是回忆起鸦片战争以后那些屈辱的历史.可是在18世纪中国可不是那个样，那时候，中国是世界头号超级大国，GDP（国内生产总值）也是世界第一.领土比现在大一半还多呢.当时，西方人很乐意学习中国文明，也特别喜欢中国的东西，特别是瓷器.那时的中国皇帝很牛，英国的使节来见了，他们得下跪.他们要求贸易，乾隆皇帝对他们说，我们是天朝大国，什么都有，用不着跟你们做什么买卖呀.现在看来.乾隆的话有99%对，也有1%不对：至少三种物质器物和三种精神成果中国没有.三种器物是钟表、望远镜和显微镜，三种精神成果是宇宙观（地球和太阳）、牛顿力学和微积分.这六种东西其实可以概括为两个字：科学.不过，在18世纪不止是中国的科学（特别包括高等数学）不行，全世界基本上都不行，只有极少数国家，例如英国、法国、德国有那么几位大科学家，其他国家的人才只能说是凤毛麟角了.说来也奇怪，在18世纪上半叶，仅有一二百万人口的瑞士居然出了好多顶尖的数学家，其中最棒的就是那个大名鼎鼎的欧拉.在欧拉之前，瑞士有许多数学家都姓伯努利.他们是一家子，这就是科学史上赫赫有名的伯努利家族.
数学家扎堆儿出现有点让人费解，有没有数学基因起作用还真不好说.爸爸有钱，儿子可以是富二代，他只要不是败家子，也许还会传下去.可数学不能遗传.爸爸是数学家，儿子可能学数学会有困难；反过来，也有大数学家，老爹竟是文盲或数盲.每个人学数学都得从1+2=3学起，靠啃老去掌握数学，没门儿！可是，要想学好数学，没钱也是万万不能的，因为学数学。特别是学高等数学，没有好的环境是不行的，这里面包括好的老师，更正确地说，是好的导师.有时，他们一两句话就能让你开窍.1800年以前的数学家，大都靠自学成才.而自学时必须去读一些经典著作，特别是一些大师的著作.啃原著不容易，但也因此会激发学习者的独创性.
一、五代拼搏
当伯努利家族的第一位数学家雅各・伯努利（图1）在1754年出生时，他家已经是一个有钱又有文化的大家族了.达到这个境地经历了五代人的努力.当然，每一代人的努力都为社会、为家族做出了应有的贡献.
16世纪初到17世纪中的欧洲是一个乱世.兵荒马乱的时期，人是很难安下心来钻研学问的.这个时期的欧洲有点儿像中国的春秋战国时代.天天打仗.但打仗的理由让我们中国人有点儿费解.有些战争并不是为了争夺土地，也不是为了掠夺劳动力、占领市场、争夺资源和财富而战的，而是为信仰而战.现在多数中国人没有什么信仰，难以理解基督教的事情.西方人大多都信仰基督教，而基督教的权威机构是教会.教会的领袖人物则是教皇.14世纪到15世纪，教会内部十分腐败，激起了中下层人士的强烈不满.1517年.德国人马丁・路德在教堂门口贴出大字报，反对教会权威，由此掀起了轰轰烈烈的宗教改革运动.于是，每一个人都必须选边站，赞成改革的称为新教徒，反对改革维护教会权威的，称为天主教徒.两边的人势不两立，进行着你死我活的斗争.从16世纪初到17世纪中。整个欧洲都在上演着不断的战争和大屠杀，尤其是欧洲大陆，简直是血流成河.社会动乱使欧洲学者难以坐下来安心研究.
伯努利家族的第一代原来生活在尼德兰.尼德兰比现在的荷兰要大得多，包括现在的荷兰、比利时、卢森堡以及附近的一些地方.当时统治这个地方的是西班牙人，他们是铁杆保皇教派.在他们的统治下，新教徒要么改变信仰，要么滚蛋，否则只能挨刀.偏偏第一代伯努利信了新教，他也不想改变信仰.不过，他是位受人尊敬的外科医生。因此得以在安特卫普安然过世.第一代去世后不久.尼德兰来了一个新的总督。叫阿尔瓦公爵.这个人可是个铁腕人物，来了后坚决镇压新教徒.第二代实在呆不下去了，只得逃亡，来到了德国法兰克福.这儿当时是新教徒的一个中心.他在这里经营药店和药厂.在他去世时，家族已经积累了相当多的财富.第三代子继父业，事业也很发达.第四代同样不敢怠慢，兢兢业业，生意越做越大.不过人算不如天算，1618年到1648年，德国境内打起了著名的“三十年战争”，其结果使德国荒芜一片，生产力遭到彻底破坏，人口也大大减少.幸亏祖上有德，第四代伯努利带着他们家族的巨大的财富和人口迁徙到了世外桃源――瑞士.当然，瑞士也不能远离宗教改革的风暴，只不过他们处理的方法更明智，避免了一场劫难.瑞士主要由日耳曼、法兰西、意大利三个民族构成。它的天主教徒和新教徒各占一半.由于他们和平共处，因此使国家能够和平发展.1620年第四代伯努利到了巴塞尔，在此安顿了下来，并且不久后成为了瑞士公民.但不管怎么说。他们还是“外来户”，必须先在瑞士站住脚.第五代伯努利不敢懈怠，好好地把自己的药材生意做强做大，对当地的老百姓也做出了实实在在的贡献.因此，他受到当地百姓的拥戴，被选为巴塞尔市议员，后来还担任了高级行政职务.伯努利家族经过五代人的努力，成为巴塞尔上流社会的一员.他还迎娶了本地银行家的女儿，“强强联手”使伯努利家族成为巴塞尔有名的大户人家. 二、雅各・伯努利
17世纪，科学家与数学家可不是一个正常的职业.科学和数学实际上是一种公益事业，干这种事业必须有钱、有闲、有自由.除非对科学和数学有强烈的兴趣，否则一个人不会愿意花时间和精力用在这上面.
经过雅各的上五代人的拼搏.终于可以让雅各去从事他所喜欢的数学研究了.可在当时，事情也没有这么简单.体面人家的子弟当然要上大学，大学的三大专业――神学、法学和医学是他们未来人生的职业训练.雅各的父亲让他学神学，以便将来好去当牧师，牧师在当时是一个高尚而稳定的职业.雅各没有意见，遵从父命上了巴塞尔大学的神学院.要知道，当时的学校并没有太多的知识可教，所以在正常情形下，15岁左右就能上大学.进入神学院之前，要先读两三年“预科”，学习所谓的“七艺”.这七艺中有三艺是文科――文法、修辞学和辩论术，另外四艺可以说是理科――算术、几何、天文、乐理.在学习这些课程时，雅各对数学和天文产生了兴趣.雅各在1671年修完七艺并获得艺术硕士学位后，进入了神学院，然后规规矩矩地读了五年.1676年，他获得神学硕士学位.但他没有像其他同学那样去找一个固定的工作，因为他很喜欢数学和天文，还想进一步学习高等数学.要知道，当时牛顿和莱布尼茨都还没有发表他们的微积分著作，所以更没人教他了，他只能靠自学.17世纪的数学里初等数学中最高级的部分，也是高等数学中最基础的部分。就是笛卡尔的解析几何，另外还有牛顿的老师巴罗以及沃利斯的著作.自学高等数学是个苦差事，但他却乐此不疲.从1677年起，他把自己的心得体会写成日记（称为“沉思录”）.这些日记后来成为他许多著作的基础.前面我们提到，高等数学如果没人指点，很难开窍.于是，他开始到各个先进国家去游学.在17世纪，数学和科学先进的国家共有四个：英国、法国、尼德兰（荷兰）以及德国（当时还没有统一）.在每个学术中心他都呆了很长的时间，去结识当地的学者、专家.比如，他在德国一呆就是两年.虽说他家里很有钱。可他并不是啃老族.他在国外一边学，一边工作.那时同现在差不多，合适的工作不好找.雅各找到了两种工作.一是当私人数学教师，一是当临时牧师帮助布道.工作之余他深人研究数学，不久就发表了论文，名气也越来越大.1683年，巴塞尔大学请雅各任教.1687年他升为数学教授，一直干到50岁英年早逝.当时.他的名气仅次于牛顿和莱布尼茨.1799年，他们三位都被选为法国科学院的第一批国外院士（共有8位）.
雅各・伯努利的贡献很多，按学科分有解析几何、微积分、变分法、无穷级数、微分几何、组合理论以及概率论等.但其中有些成就，特别是微积分和变分法，我们很难分辨是雅各的成就还是他弟弟约翰的成就.为此兄弟两人也打的不可开交.而在其他方面，特别是那些挂上伯努利名字的，可以说都是雅各的贡献，比方像伯努利数、伯努利多项式、伯努利双纽线（图2）、伯努利试验、伯努利分布、伯努利大数定律。甚至伯努利（微分）方程.这些知识也许每个都超出了中学生能够理解的范围，然而我还是愿意做一点儿普及，来启发那些对数学感兴趣的同学.
其实，漂亮的数学都是从最简单的问题开始的.现在，差不多任何人都知道1+2+3+…+100的那个有趣的故事了.如今，差学生和较好学生的差别主要是看谁能较快地得出正确答案来.当然，在较好的学生中还有更好的学生，他能提出更一般的问题，并加以解决.例如，1+2+3+…+200或1+2+3+…+199各等于多少？当然，这些也都不难.更有数学素养的人则会探讨1+2+3+…+n的一般公式.其实，早在高斯之前，早在伯努利之前，数学家们就已经知道，这只不过就是一个最简单的等差级数求和问题.
数学家和普通人的不同之处就在于他们会考虑更一般的问题――等幂和的问题：
12+22+32+…+n2=？
13+23+33+…+n3=？
……
1k+2k+3k+…+nk=？
这样，一下子所有人都傻了.能提出问题当然不错，但能解决问题就更棒了.这个时候，所有人都变成了“高斯的同学”，会先一个一个地傻算，然后造出个表来.从理论上讲，只要你有足够的耐心，愿意花足够多的时间，就可以得出结果来.在雅各・伯努利之前，已经有人编写出了前几位数的2次方到6次方的和的表了.这可是一大本书，想想看吧.雅各・伯努利就相当于算等幂和的高斯，他得出了所有等幂和的公式！比如，他算出
110< /sup>+210< /sup>…+1000< sup>10< /sup>
=91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500.雅各的公式中出现了一系列的分数B0< /sub>，B1，B2，…，Bn，…，它们被后人称为伯努利数.在没有计算机的时代，算等幂和十分钟也就了事！神吧？伯努利数可不止这点儿用处，从代数数论到微分拓扑，好多地方都有它的身影.喏，这就是高等数学了.
三、约翰・伯努利
伯努利家族经过五代的拼搏.产生了第一位伟大的数学家――雅各・伯努利.但第一有第一的难处，一切都要从头做起.以微积分为例，虽然是牛顿首先发明了微积分，但一直没有发表论文.别人问他，他也不会仔细地告诉他们.到了17世纪80年代，德国的莱布尼茨发表了他独立发明的微积分，但论文也很难懂.雅各在1687年写信向莱布尼茨求教.莱布尼茨可不像牛顿，他喜欢同别人沟通、交流，但可惜莱布尼茨这时正在各地旅游，没有收到信.于是雅各只好自己钻研，最后终于搞明白了莱布尼茨的两篇论文.雅各又把自己的心得体会加了进去。并教给别人，其中就包括他的弟弟约翰・伯努利.到了1690年以后，兄弟两人都和莱布尼茨通上了信，这便开始发展成为人数众多的“大陆学派”.
雅各和约翰的父亲没有搞独生子女政策，他一共有十个子女，雅各是老五，约翰则差不多是最小的.父亲同样也干涉约翰的志愿，他希望约翰子承父业去经商.年轻人多少都有点儿叛逆心理.同哥哥一样，约翰反倒选择了学术事业.1683年约翰进入巴塞尔大学，1685年取得艺术硕士学位.在三大专业中，他又选择了医学专业，读了五年，1690年取得医学硕士学位，并在1694年取得博士学位.博士论文是关于肌肉生理学方面的.显然这是医学的一个重要课题.不过他并没有去当医生，而是同他哥哥一块儿搞起了数学研究.1687年是关键的一年，那一年最重要的事情当然是牛顿出版了他的巨著《自然哲学的数学原理》.显然，伯努利兄弟还不能很快地理解它.雅各刚刚弄懂莱布尼茨发表的两篇微积分论文，便兴高采烈地教给了他的弟弟约翰.那年约翰刚满20岁，跟着哥哥成为了懂微积分的第四个人.兄弟两人都有足够的天分，他们不仅能够理解莱布尼茨的开创性工作，而且能够加以发展，用来解决各种前沿问题.
师傅领进门，修行在个人.约翰很快就感觉到生活在哥哥的影子中并不愉快.雅各比约翰大12岁还多.人们自然会以为约翰的论文少不了哥哥的帮忙.为了摆脱哥哥的影响，既然雅各已经取得了巴塞尔大学的数学教席，约翰就只好去别处找工作了.