最新如何提高数学成绩?大全

分类计数原理与分步计数原理、排列

1. 分类计数原理，分步计数原理

2.

【典型例题

[例1] 有三个袋子，其中一个袋子装有红色小球20个，每个球上标有1至20中的一个号码，一个袋子装有白色小球15个，每个球上标有1至15中的一个号码，第三个袋子装有黄色小球8个，每个球上标有1至8中的一个号码。

（1）从袋子里任取一个小球，有多少种不同的取法？

（2）从袋子里任取红、白、黄色球各一个，有多少种不同的取法？

解：

（1）任取一个小球的方法可分三类，一类取红球，有20种取法；一类取白球，有15种取法；一类取黄球，有8种取法。由分类计数原理共有20 15 8=43种不同取法。

（2）取三色小球各一个，可分三步完成，先取红球。有20种取法；再取白球，有15种取法；最后取黄球，有8种取法。由分步计数原理，共有 种不同的取法。

[例2] 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？

解：分析个位数字，可分以下几类：

个位是9，则十位可以是1，2，3，……，8中的一个，故有8个；

个位是8，则十位可以是1，2，3，……，7中的一个，故有7个；

与上同样。

个位是7的有6个；

个位是6的有5个；

……

个位是2的只有1个。

由分类计数原理知，满足条件的两位数有 （个）

[例3] 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字，表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点a向结点b传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为多少？

解：沿12?d5?d3路线传递的信息最大量为3（单位时间内），沿12?d6?d4路线传递信息的最大量为4……由于以上每个线路均能独立完成这件事（传递信息），故单位时间内传递的最大信息量为3 4 6 6=19。

[例4] 用6种不同的颜色对下图中5个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能同色，那么共有多少种不同的涂色方法？

解：分五步进行，第一步给5号域涂色有6种方法

第二步给4号涂有5种方法

第三步给1号涂有5种方法

第四步给2号涂有4种方法

第五步给3号涂有4种方法

根据分步计数原理，共有 值

（1） ；（3） 。

解：（1）由排列数公式，

得

整理得 或 （舍去） ∴

解得

（3）由排列数公式，得 ∴ ；

（2）

∴

（3）∵

[例7] 由0，1，2，3，4，5共六个数字可组成多少个没有重复数字且能被5整除的六位数？

解：组成的六位数与顺序有关，但首位不能排0，个位必须排0或5，因此分两类：第一类：个位必须排0，此时前五位数由1，2，3，4，5共五个数字组成，这五个数字的每一个排列对应一个六位数，故此时有 个六位数。第二类：个位数排5，此时为完成这件事（构造出六位数）还应分两步，第一步排首位，有4种排法，第二步排中间四位，有 个。

[例8] 用0，1，2，3，4五个数字组成的无重复数字的五位数中，其依次从小到大的排列。

（1）第49个数是多少？（2）23140是第几个数？

解：（1）1、2是首数时各组成 个；2在万位，0、1在千位的共有 个，还有23104比23140小，故23140是第 种方法，然后让剩下的5个人（其中包括甲）站在中间的5个位置，有 种站法。

方法二：因为甲不在两端，分两步排队，首先排甲，有 种方法，第二步让其他6人站在其他6个位置上，有 种方法，第二步让甲插入这6个人之间的空当中，有 种，故共有 种站法。

方法四：在排队时，对7个人，不考虑甲的站法要求任意排列，有 种方法，因此共有 种排法，再考虑其余5个元素的排法有 种。

方法二：甲、乙两人不能站在两端，应包括同时不在两端，某一人在两端，故用排异法，应减去两种情况，同时在两端，有 种不同站法。

（3）分三步：第一步，从甲、乙以外的5个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有 种方法，第三步，对甲、乙进行全排列，故共有 种不同站法。

（4）方法一：男生站在前4个位置上有 种站法，男女生站成一排是分两步完成的，因此这种站法共有 种站法，这两种站法都符合要求，所以四名男生站在一起，三名女生也站在一起的站法共有 种排法，然后排四名男生，有 种排法，根据分步计数原理，将四名男生站在一起，三名女生站在一起的站法有 种排法，在四名男生间的三个间隔共有三个位置安排三名女生，有 种排法符合要求，故四名男生三名女生相间排列的排法共有 种。

（6）在7个位置上任意排列7名学生，有排法 中每一种情况均以 种。

[例10] 某班开设的课程有语文、数学、英语、政治、物理、化学、生物、体育共8门。若星期一上午排4节不同的课，并且规定体育课不能排在第一节及第四节，那么星期一上午该班的课程表有多少种不同的排法？

解：若不排体育课，则有 ，且a中至少有一个奇数，则这样的集合有（ ）

a. 2个 b. 3个 c. 4个 d. 高中物理 5个

2. 书架上、下两层分别放有5本不同的数学书和4本不同的语文书，从中选两本数学书和一本语文书，则不同的选法有 种（ ）

a. 9 b. 13 c. 24 d. 40

3. 不等式 b. 或 或

4. 已知 的值为（ ）

a. 7 b. 2 c. 6 d. 8

5. 2个男生和4个女生排成一排，其中男生既不相邻也不排两端的不同排法有（ ）

a. 种

c. 种

6. 27位女同学排队照相，第一排8人，第二排9人，第三排10人，则所有不同的排法种数为（ ）

a.

c.

二. 解答题

1. （1）某教学楼有三个不同的楼梯，4名学生要下楼，共有多少种不同的下楼方法？（2）有4名同学要争夺3个比赛项目的冠军，冠军获得者共有多少种可能？

2. 现有高一年级四个班学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组。

（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？

（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？

（3）推选两人作中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

3. 解下列各式中的 值。

（1） （2）

一. 选择题

1. d 2. d 3. c 4. a 5. a 6. c

二. 解答题

1. 解：

（1）4名学生分别下楼，即问题分4步完成。每名学生都有3种不同的下楼方法，根据分步计数原理，不同的下楼方法共有 种。

（2）确定3项冠军人选可逐项完成，即分3步，第1项冠军人选有4种可能，第2项与第3项也均有4种可能，根据分步计数原理：冠军获得者共有 （种）

（2）分四步，易知不同的选法总数

（种）

（3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有 种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有 种不同选法；从一、四班学生中各选1人，有 种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有 种不同的选法，所以共有不同的选法数

∴

∴ （舍）

（2）

∴ （舍）

4. 解：

（1）先排乙有2种方法，再排其余5位同学有 种排法。

（4） 种排法。

（5） 种排法。

（6）7个学生的所有排列中，3名女生交换顺序得到的排列只对应一个符合题意的排队方式，故共有 种排法。

等差数列的前n项和训练题

1．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为( )

a．360 b．370

c．380 d．390

答案：c

2．已知a1＝1，a8＝6，则s8等于( )

a．25 b．26

c．27 d．28

答案：d

3．设等差数列{an}的前n项和为sn，若a6＝s3＝12，则{an}的通项an＝________.

解析：由已知a1＋5d＝123a1＋3d＝12a1＝2，d＝2.故an＝2n.

答案：2n

4．在等差数列{an}中，已知a5＝14，a7＝20，求s5.

解：d＝a7－a57－5＝20－142＝3，

a1＝a5－4d＝14－12＝2，

所以s5＝5a1＋a52＝52＋142＝40.

一、选择题

1．(2011年杭州质检)等差数列{an}的前n项和为sn，若a2＝1，a3＝3，则s4＝( )

a．12 b．10

c．8 d．6

解析：选c.d＝a3－a2＝2，a1＝－1，

s4＝4a1＋4×32×2＝8.

2．在等差数列{an}中，a2＋a5＝19，s5＝40，则a10＝( )

a．24 b．27

c．29 d．48

解析：选c.由已知2a1＋5d＝19，5a1＋10d＝40.

解得a1＝2，d＝3.∴a10＝2＋9×3＝29. x k b 1 . c o m

3．在等差数列{an}中，s10＝120，则a2＋a9＝( )

a．12 b．24

c．36 d．48

解析：选b.s10＝10a1＋a102＝5(a2＋a9)＝120 高中物理.∴a2＋a9＝24.

4．已知等差数列{an}的公差为1，且a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99，则a3＋a6＋a9＋…＋a96＋a99＝( )

a．99 b．66

c．33 d．0

解析：选b.由a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99，

得99a1＋99×982＝99.

∴a1＝－48，∴a3＝a1＋2d＝－46.

又∵{a3n}是以a3为首项，以3为公差的等差数列．

∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝33a3＋33×322×3

＝33(48－46)＝66.

5．若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )

a．13项 b．12项

c．11项 d．10项

解析：选a.∵a1＋a2＋a3＝34，①

an＋an－1＋an－2＝146，②

又∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，

∴①＋②得3(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝60.③

sn＝a1＋ann2＝390.④

将③代入④中得n＝13.

6．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( )

a．9 b．10

c．11 d．12

解析：选b.由等差数列前n项和的性质知s偶s奇＝nn＋1，即150165＝nn＋1，∴n＝10.

二、填空题

7．设数列{an}的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2(n∈n*)，则a1＋a2＋…＋a17＝________.

解析：由题意得an＋1－an＝2，

∴{an}是一个首项a1＝－7，公差d＝2的等差数列．

∴a1＋a2＋…＋a17＝s17＝17×(－7)＋17×162×2＝153.

答案：153

8．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和s5＝10，则其公差为d＝__________.

解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6.①

s5＝5a1＋12×5×(5－1)d＝10.②w

由①②得a1＝1，d＝12.

答案：12

9．设sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，s9＝－9，则s16＝________.

解析：由等差数列的性质知s9＝9a5＝－9，∴a5＝－1.

又∵a5＋a12＝a1＋a16＝－9，

∴s16＝16a1＋a162＝8(a1＋a16)＝－72.

答案：－72

三、解答题

10．已知数列{an}的前n项和公式为sn＝n2－23n－2(n∈n*)．

(1)写出该数列的第3项；

(2)判断74是否在该数列中．

解：(1)a3＝s3－s2＝－18.

(2)n＝1时，a1＝s1＝－24，

n≥2时，an＝sn－sn－1＝2n－24，

即an＝－24，n＝1，2n－24，n≥2，

由题设得2n－24＝74(n≥2)，解得n＝49.

∴74在该数列中．

11．(2010年课标全国卷)设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求{an}的前n项和sn及使得sn最大的序号n的值．

解：(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得

a1＋2d＝5，a1＋9d＝－9，可解得a1＝9，d＝－2，

所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n.

(2)由(1)知，sn＝na1＋nn－12d＝10n－n2.

因为sn＝－(n－5)2＋25，

所以当n＝5时，sn取得最大值．

12．已知数列{an}是等差数列．

(1)前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数；

(2)sn＝20，s2n＝38，求s3n.

解：(1)由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝21，an－3＋an－2＋an－1＋an＝67，

所以a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝88.

所以a1＋an＝884＝22.

因为sn＝na1＋an2＝286，所以n＝26.

(2)因为sn，s2n－sn，s3n－s2n成等差数列，

所以s3n＝3(s2n－sn)＝54.

1、按部就班

数学是环环相扣的一门学科，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。所以，平时学习不应贪快，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题。

2、强调理解

概念、定理、公式要在理解的基础上记忆。每新学一个定理，尝试先不看答案，做一次例题，看是否能正确运用新定理；若不行，则对照答案，加深对定理的理解。

3、基本训练

学习数学是不能缺少训练的，平时多做一些难度适中的练习，当然莫要陷入死钻难题的误区，要熟悉高考的题型，训练要做到有的放矢。

4、重视平时考试出现的错误。

订一个错题本，专门搜集自己的错题，这些往往就是自己的薄弱之处。复习时，这个错题本也就成了宝贵的复习资料。

数学的学习有一个循序渐进的过程，妄想一步登天是不现实的。熟记书本内容后将书后习题认真写好，有些同学可能认为书后习题太简单不值得做，这种想法是极不可取的，书后习题的作用不仅帮助你将书本内容记牢，还辅助你将书写格式规范化，从而使自己的解题结构紧密而又严整，公式定理能够运用的恰如其分，以减少考试中无谓的失分。

如何学好数学

首先和敏捷对于来说固然重要，但良好的可以把效果提高几倍，这是先天因素不可比拟的。学好首先要过的是关。任何事情都有一个由量变到质变的循序渐进的积累过程。

一．。不等于浏览。要深入了解内容，找出重点，难点，疑点，经过思考，标出不懂的，有益于抓住重点，还可以培养自学，有时间还可以超前学习。

二．听讲。核心在。1。以听为主，兼顾记录。2。注重过程，轻结论。

3．有重点。4。提高听课。

三．。像演电影一样把课堂，整理笔记，

四．多做练习。1。晚上吃饭后，坐到书桌时，看数学最适合，2。做一道数学题，每一步都要多问个别为什么，不能只满足于课堂上的灌输式传授和书本上的简单讲述，要想提高必须要一步一步推 高中历史，一步一步想，每个过程都必不可少，3。不要粗心大意，4。做完每一道题，要想想为什么会想到这样做，建立一种条件发射，关键在于每做一道题要从中得到东西，错在哪，5。解题都有固定的套路。6还有大胆的夸奖自己，那是树立信心的关键时刻，

五．总结。1。要将所学的知识变成知识网，从大主干到分枝，清晰地深存在脑中，新题想到老题，从而一通百通。2。建立错误集，错误多半会错上两次，在有意识改正的情况下，还有可能错下去，最有效的应该是会正确地做这道题，并在下次遇到同样情况时候有注意的意识。3。周末再将一周做的题回头看一番，提出每道题的思路方法。4有问题一定要问。

六．考前复习，1。前2周就要开始复习，做到心中有数，否则会影响发挥，再做一遍以前的错题是十分必要的，据说有一个同学平时只有一百零几，离只有一个月，把以前错题从头做一遍，最后他数学居然得了147分。2。要重视基础，

另外，听老师的话，勤学苦练不可少，没有捷径，要乐观，有毅力，要有决心，还要有耐心，学数学是一个很长的过程，你的努力于回报往往不能那么尽如人意的成正比，甚至会有下坡路的趋势，但只要坚持下去，那条成绩线会抬起头来，一定能看到光明。

第一章《空间几何体》测试题（二）

三、解答题

11.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长10cm，求圆锥的母长.

考查目的：考查圆锥、圆台的概念和性质.

答案：cm.

解析：设圆锥的.母线长为，圆台的上、下底半径分别为.

12.画出下列空间几何体的三视图：

考查目的：考查由直观图画三视图.

答案：⑴的三视图如下：

⑵的三视图如下：

解析：注意直观图与三视图之间的关系，特别是各方向线段之间的比例转化.

13.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，求这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值.

考查目的：考查几何体的体积的计算，通过球这个载体考查空间想象能力及推理运算能力.

&nbsp 高三;

答案：.

解析：(画出图形，利用数形结合然后利用球及圆的性质求解)

如图，设球的半径为，圆锥的底面圆的半径为，依题意得，即，∴，∴，∴，，∴.

14.(2010辽宁理)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围是多少？

考查目的：考查空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力.

答案：.

解析：根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为的直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：⑴地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，，，如图1，可知，，则，即，∴.

⑵构成三棱锥的两条对角线长为，其他各边长为2，如图2，此时.

综上可得，.

15.一个正四棱台的两底面边长分别为，侧面积等于两个底面积之和，求这个棱台的体积.

考查目的：考查运用棱台公式进行综合计算的能力.

答案：.

解析：如图所示，设分别为下、上底面中心，分别为下、上底边的中点，连结，，过作于，那么，得.

在直角三角形中，，即棱台的高为，∴体积为.

高考数学最后冲刺六大注意事项

一、重点、查缺补漏。对前几次各区模拟分类梳理、整合，既可按分类，也可按思想分类。强化联系、形成网络结构，以少胜多，以不变应万变。

二、查找错题，分析病因，对症下药。查错题，分析病因，对症下药，这是重点。

三、阅读《说明》和《试题分析》，确保没有知识盲点 。

四、注意基础复习。回归课本、回归基础、回归近年数学试题，把握通性通法 。

五、重视书写表达的规范性和简洁性 。重视书写表达的规范性和简洁性，掌握各类常见题型的表达模式，避免“会而不对、对而不全”现象的出现，力争既对又全。

六、不要做难题 。临考前应做一定量中、低档题，以达到熟练基本方法、典型问题的目的,高中政治，一般不再做难题，要保持清醒的头脑和良好的解题状态。

扣在桌上的纸牌

八张编了号的纸牌扣在桌上，它们的相对位置如下图所示：

1

2

3

4

5

6

7

8

关于这八张牌：

（1）其中至少有一张q。

（2）每张q都在两张k之间。

（3）至少有一张k在两张j之间。

（4）没有一张jq相邻。

（5）其中只有一张a。

（6）没有一张k与a相邻。

（7）至少有一张k和另一张k相邻。

（8）这八张牌中只有k、q、j和a这四张牌。

这八张牌中哪一张是a？

（提示：哪几张纸牌可能是q？)

答 案

根据{（1）其中至少有一张q。}和{（2）每张q都在两张k之间。}，在下列判断中有一条且只有一条是对的：

（a）3号牌和6号牌是q；

（b）只有3号牌是q；

（c）只有6号牌是q；

（d）只有4号牌是q。

如果3号牌和6号牌都是q，则有下列两种可能（x代表未知的牌）：

x

x

k

q

k

k

q

k

k

q

k

x

q

x

x

k

但这两种可能都不符合{（3）至少有一张k在两张j之间。}，因此判断（a）是不对的。

如果只有3号牌是q，则6号牌就不可能是k，这是因为根据（3），一定有一张k在两张j之间，而{（4）没有一张jq相邻。}在这里又不允许这种情况发生。根据前面的推理，6号牌不能是q。根据（3）和{（6）没有一张k与a相邻。}，6号牌又不能是a。因此6号牌只能是j。但这样（3）和{（7）至少有一张k和另一张k相邻。}不能同时得到满足。因此判断（b）也是不对的。

如果只有6号牌是q．则有下列两种可能：

x

x

x

x

x

x

x

k

k

q

k

x

q

x

x

k

在第一种可能中，（3）和（4）不能同时得到满足；在第二种可

能中，（3）得不到满足。因此，判断（c）也是不对的。

于是，只有判断（d）是正确的：只有4号牌是q。

接下来根据（2），l号牌和6号牌是k。根据（3），5号牌和7号牌是j。

因此必定是下面这种情况：

k

x

x

q

j

k

j

x

如果为了满足（7），设2号牌和3号牌都是k，则根据（5），8号牌就是a。但（6）不允许这种情况发生。因此8号牌是（7）所要求的与一张k相邻的k。

如果2号牌是一张a，则3号牌不能是q（根据（2））不能是k（根据（6）），不能是j（根据（4））也不能是a（根据{（5）其中只有一张a。}）。因此根据{（8）这八张牌中只有k、q、j和a这四张牌。}，2号牌不能是a。根据（5），3号牌一定是那张唯一的a。

根据（2）、（5）和（6），2号牌一定是j。

所有的纸牌情况如下：

k

高中历史

j

a

q

j

k

j

k

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