简化圆锥曲线运算的几种思想

圆锥曲线问题的求解特点是以代数方法解决几何问题，由于求解思路清晰，这类问题容易形成“入手容易”；又由于运算量大，不仅影响解题速度，也极容易出错，因此又易形成“答对困难”的情况.因此，在解题中，尽量减少运算则成为迅速、准确解题的关键.为此，本文谈一下简化圆锥曲线问题运算量的几种数学思想.

整体思想

对某些圆锥曲线问题，注意其整体结构特点，设法将问题整体变形转化，以达到避免一些不必要的运算，降低解题难度.

解 由椭圆的切线方程[y=kx±a2k2+ b2]知，两切线的方程为：[y=kx±3k2+2].

又切线过点P（2，4），所以[4=2k±3k2 + 2]，整理得，[k2-16k+14=0].

补集思想

某些圆锥曲线问题，从正面处理较难，常需分类讨论，运算量大，且讨论不全又容易出错.如用补集思想考虑其对立面，可以达到化繁为简的目的.

例2 两个不同的点[P，Q]在曲线[y=x2]上移动，不管如何选择其位置，它们总不能关于直线[y=m（x-3）]对称，求[m]的范围.

分析 从不能的角度考虑，需分别讨论各种情况，比较麻烦.用补集思想解题就达到了删繁就简的目的.

解 设[I={m|m∈R}]，[A={m|P，Q]关于直线[y=m（x-3）]对称}.

若[m=0]，显然曲线[y=x2]上没有关于直线[y=0]对称的点.