从虚位移原理到拉格朗日方程

【摘 要】由虚位移原理出发结合达朗贝尔原理得到动力学普遍方程，再有这个普遍方程得到拉格朗日方程的推导过程。容易看出理论力学比经典力学有更深的理论基础和灵活性。尤其是广义坐标、广义力的引入，以能量为基本概念的动力学方程比牛顿第二定律更具有理论优势。通过方程的应用实例可揭示出这两个方程在分析力学中具有非常重要的理论价值和应用价值。

【关键词】广义坐标 广义力 虚位移 拉格朗日方程

分析力学是理论力学的重要组成部分，它给出了与牛顿第二定律等价的力学基本方程，提供了解决力学问题的不同方法，拉格朗日方程也是分析力学中一个重要的基本方程。拉格朗日方程是在动力学的普遍方程（达朗伯―拉格朗日方程）的基础上，将各点的坐标 、及其虚位移 变换为广义坐标 及其变分 后得到的。为了加深对拉格朗日方程的认识和理解，以便能更好地运用它来分析和解决问题，下面将达朗伯原理和虚位移原理结合起来推导出动力学普遍方程和拉格朗日方程。

1 从虚位移原理动力学普遍方程

设由n个质点组成的质点系，由达朗伯原理知，在质点系运动的任一瞬时，任一质点 上作用的主动力 ，约束反力 及其惯性力 三者构成形式上的平衡力系，即：

（1）

对该质点系应用虚位移原理，为此，取质点系的任何一组虚位移 ，则得：

（2）

设该质点受的是理想约束，则有 ，因此 即：

（3）

（3）式是通过达朗伯虚加惯性力手段和虚位移原理相结合而得到的结果，称为动力学普遍方程，也称达朗伯――拉格朗日方程。

2 从动力学普遍方程到拉格朗日方程

由分析力学，可设主动力为 ，广义力

由动力学普遍方程，得

（4）

仅为时间和广义坐标的函数。

第一个拉格朗日关系式

对任意一个广义坐标 qj 求偏导数

如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求

导数，则得到

第二个拉格朗日关系式

（5）

在这里， 为广义坐标， 则为广义动量，此即拉格朗日方程，或称为第二类拉格朗日方程。

如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主动力

引入拉格朗日函数L=T-V， T是动能，V是势能，得到主动力为有势力的拉格朗日方程

（6）

动力学普遍方程中系统的运动是直角坐标来描述的，而拉格朗日方程是用广义坐标来描述系统的运动，两者都可用来解决非自由质点系的动力学问题，用分析的方法解决动力学问题，因此是分析力学的基础。对于解决复杂的非自由质点系的动力学问题，应用拉格朗日方程往往要比用动力学普遍方程简便得多。

3 应用举例

为了说明分析力学在解决力学问题灵活、方便且科学上的严谨等优势，我们可通过以下面例题的求解来彰显。

如图1所示，试用拉格朗日方程求单摆的微振动方程和周期。

解：设单摆的摆长为 ，摆锤质量为m，取 为广义坐标，则拉格朗日函数为：

其中取悬点o为零势能点。

代入到拉格朗日方程 中得：

而 ，则 ，此即为单摆的微振动方程。于是角频率

所以周期 。

为了节省时间，在解题过程中，并没有用大家所熟悉的牛顿第二定律与拉格朗日方程对比来求解。但仍能明显的感觉到，用分析力学解题比用牛顿第二定律的方法简单灵活的多。

4 结语

在分析力学中，关于力学系统的动力学规律有两种不同的表述，其中之一便是拉格朗日表述，在这种表述中，就是用拉格朗日方程来描述系统的运动规律。关键的问题在于对方程的物理意义的深入理解和如何应用拉格朗日方程解题。在学习过程中，有些学生只注意解题技巧而忽视了对方程的物理意义往往这是不可缺少的关键一步。

参考文献：

[2] 周衍柏.理论力学教程[M].人民教育出版社，1979.

[3] 肖士.理论力学简明教程[M].人民教育出版社，1979.

[4] 朗道，栗弗席兹.力学[M].高等教育出版社，1959.

[5] 陆明万，张雄.从动能定理到第二类拉格朗日方程[J].力学与实践，2003，25（5）66-68.