论三重积分的四维几何意义

摘要：对三重积分的四维几何意义进行了说明，指出了三重积分的四维几何意义是四维超体积，并给出了四维超圆锥、超圆柱、未来光锥和过去光锥的四维超体积的计算过程。

关键词：三重积分triple integral;四维几何意义four dimensional geometric meaning;时间 time;空间 space;四维超体积 four dimensional hyper volume

引言

《高等数学》提出定积分的几何意义是面积，二重积分的几何意义是体积，但并没有提出三重积分∫∫∫Ωf（x，y，z）dv的几何意义，为了补充这个概念，特写此文。

1.四维世界

我们的宇宙是四维的，所有的实际物体都是四维的：三维属于空间，一维属于时间。时间是与三维空间都独立的一个方向，时间和空间是有区别的，它看不见也摸不着，度量单位也与空间不同。要把时间看成与空间等效的第四维，就需要把时间转换为空间距离，而这个转换需要用到一个常量――真空中光速。把一段时间（t）转换为空间距离（Lt）就是用时间乘以光速。即Lt=tc①

因为时间和空间在它们的四维结合里表现确实有所不同，为了保留它们某些本质区别，按照德国数学家闵可夫斯基的看法，可以将时间坐标看作纯虚数，这样Lt=tci②

将毕大哥拉斯定理推广到四维，可得四维世界中两点间的距离公式为

S=x2 + y2 + z2 + L2t =x2+y2+z2+（tci）2

=x2+y2+z2-（tc）2[1]③

2.四维超体积

四维超体积（用W表示）是指物体在四维世界中的大小，它对应于一维的长度，二维的面积，三维的体积。它的国际单位制单位是m4.一个体积V恒定，经历了时间t的物体的四维超体积

W=V Lt =Vtci④

这样一来，四维超体积成了虚数，这就表示它有一个方向是时间。

3.三重积分的四维几何意义是四维超体积

3.1在介绍三重积分的四维几何意义之前，笔者先介绍用二重积分表示的由二维空间和一维时间构成的三维体积，这样便于作图和理解。

图1

设在xoy面上有一个有界闭区域D，从t0=0之后的某一时刻开始，D的面积随时间逐渐减小到0，D最终成为一个点。在t0时刻。该闭区域为D0。D0的任意一个聚点在此过程中属于D的时间为t（x，y），函数t（x，y）是闭区域D0上的连续有界函数，且t（x，y）0（图1）。则在此过程中，D的体积：

V=∫∫D0Ltdxdy=∫∫D0[t（x，y）ci]dxdy=∫∫D0t（x，y）cdxdyi⑤

例如桌面上有一片水，D0是这片水所占的有界闭区域，由于蒸发作用水面逐渐减小，最终消失，设D0的任意一个聚点在此过程中处于水中的时间为t（x，y），t（x，y）是D0上的连续有界函数，且t（x，y）0。则这片水的体积为：

V=∫∫D0t（x，y）cdxdyi。

如果t（x，y，）是负的，就表示这段时间在t0 时刻之前，二重积分的共轭复数仍等于D的体积。如果t（x，y，）在D0的若干部分区域上是正的，而其它的部分区域是负的。那么，t（x，y，）在D0 上的二重积分就等于这些部分区域上的的二重积分的代数和。[2]

3.2类似的，设在一个三维直角坐标系中有一个空间有界闭区域Ω，从t0=0之后的某一时刻开始，Ω的体积随时间逐渐减小到0，Ω最终成为一个点。在t0时刻。该闭区域为Ω0。Ω0的任意一个聚点在此过程中属于Ω的时间为t（x，y，z），函数t（x，y，z）是Ω0上的连续有界函数，且t（x，y，z）0。则在此过程中，Ω的四维超体积：

W=∫∫∫Ω0Ltdxdydz= ∫∫∫Ω0[t（x，y，z）ci]dxdydz=∫∫∫Ω0t（x，y，z）cdxdydzi⑥

例如一个乘满水的杯子，Ω0是这杯水所占的闭区域，由于蒸发作用杯子里的水逐渐减小，最终消失，设Ω0的任意一个聚点在此过程中处于水中的时间为t（x，y，z），t（x，y，z）是Ω0上的连续有界函数，且t（x，y，z）0。则这杯水的四维超体积为W=∫∫∫Ω0t（x，y，z）cdxdydzi。

如果t（x，y，z）是负的，就表示这段时间在t0 时刻之前，三重积分的共轭复数仍等于Ω的四维超体积。如果t（x，y，z）在Ω0的若干部分区域上是正的，而其它的部分区域是负的。那么，t（x，y，z）在Ω0上的三重积分就等于这些部分区域上的的三重积分的代数和。

4.计算四维超圆锥的超体积

图2图3

现在，我们来计算高为h，底部球体半径为r的四维超圆锥。设底部球体的球心为四维直角坐标系的原点，则由相似三角形对应边成比例的关系可得（图3）

t（x，y，z）cihi=r0-x2+y2+z2r0

即t（x，y，z）c=r0-x2+y2+z2r0h⑦

由⑥和⑦得W=∫∫∫Ω0t（x，y，z）cdxdydzi

=∫∫∫Ω0r0-x2+y2+z2r0hdxdydzi

=∫∫∫Ω0r0-rr0hr2sinφdrdφdθi

=hr0∫2π0dθ∫π0dφ∫r00（r0-r）r2sinφdri

=π3r30 hi⑧

由④可得与这个超圆锥同底等高的超圆柱的超体积

W=VLt =43r30 hi⑨

可以看出，超圆锥的超体积是与它同底等高的超圆柱的超体积的14。

4.2史蒂芬・霍金曾在时间简史中提到过未来光锥和过去光锥。“如果有一个光脉冲从一特定的空间的点在一特定的时刻发出，在时间的进程中，它就会以光球面的形式发散开来，而光球面的形状和大小与源的速度无关。在百万分之一秒后，光就散开成一个半径为300米的球面; 百万分之二秒后，半径变成600米;等等。”“从一个事件散开的光在四维的空间――时间里形成了一个三维的圆锥，这个圆锥称为事件的未来光锥。以同样的方法可以画出另一个称之为过去光锥的圆锥，它表示所有可以用一光脉冲传播到该事件的事件的集合。”[3]

下面，我将利用⑧计算从事件发生开始持续时间t的未来光锥和过去光锥的超体积。由对称性可以看出持续时间相同的这两个超体积的大小相等。

图4

因为光球是以光速发散开，

有r0=tc.

又由①得h=tc.

将r0=tc和h=tc代入⑧，

得W=π3r30hi

=π3（tc）3tci

= π3t4c4i⑩

所以，从事件发生开始持续时间t的未来光锥和过去光锥的超体积都为 π3t4c4i。（作者单位：中冶长天国际工程有限责任公司）

参考文献：

[2]同济大学应用数学系.高等数学第五版，下册[M].北京：高等数育出版社，2005.77.

[3][英]史蒂芬・霍金.时间简史―从大爆炸到黑洞[M].长沙：湖南科学技术出版社，2002.24～25.