基于微分方程组的人体各部分铅含量变化模型

摘 要

针对目前越来越严重的人体铅含量过高现象，本论文根据铅在人体的各组织和器官的分布及其代谢规律的不同，提出了把体内的铅含量看成是由其在血液、组织、骨骼中的含量这3部分组成，描述这3个铅含量的变化率，建立1个常微分方程组的数学模型，并对微分方程进行稳定性分析。然后求出1定环境下模型的解，得到这3个铅含量随时间变化的函数。并用MATLAB画出铅含量随时间变化的函数关系图。

关键词：铅含量；微分方程组；通解；稳定性

Abstract

In view of the more and more serious phenomenon of excessive lead in human’s body at present, according to the different distribution and metabolic rule in each tissue or organic of human’s body, we propose to regard human body’s lead is composed of three parts: the amount of the blood, the tissue and the bone. We describe the change of lead amount in every part, come to a group of ordinary differential equations as mathematical model, and analyze the stability of the system of differential equations, then resolve the equations with certain condition, obtain three functions that express the lead amount of the three parts along with time, and draw its graph with MATLAB.

Keywords : lead amount ; system of differential equations; general solution; stability

前 言

微分方程是现代数学的1个重要分支，是研究函数变化规律的有力工具。它在几何、力学、电子技术、自动控制、经济、管理、生态环境、人口、交通等领域有着广泛的应用。

随着工业和交通运输业的发展，环境中的铅大量增加，人体内的铅含量也越来越高。研究如何控制人体内的铅含量已受到医学上的重视。人体内的铅含量是随时间而演变的，要研究如何控制人体内的铅含量就要找出其与时间的关系。但是人体的铅含量与时间之间的关系是无法直接得到，为了要弄清人体内的铅含量随时间而变化的规律，预测未来1定时间里人体内的铅含量，本论文找到时间与人体内铅含量的导数之间的关系，即1个含有未知函数及其导数的方程，这种方程称为微分方程。然后用常数变易法求解方程，得到变量间的函数关系，从而了解人体内的铅含量随时间而变化的规律。

人体内的不同组织和不同器官的铅含量是不相同的，在1个有铅的环境中，人体不断地摄入铅，同时又通过各种途径排出铅。本论文将对铅在人体各组织和器官的分布及其代谢规律进行机理分析，以此依据对人体内的铅含量进行粗略的划分，描述划分后的各个铅含量在每个时刻的变化率，运用平衡原理，建立由几个微分方程组成的1个方程组模型，并对模型的稳定性进行分析，以确定初值的计算和测定时出现的误差或干扰对系统产生的影响是否显著。选择恰当的方法求出模型的解，并用MATLAB画出解的图象。并根据目前国际上公认的人体铅含量是否超标的标准，计算出已在某1环境下生活1段时间的人，使其体内的铅含量才不超标的环境。