测度论中的存在性及唯一性

论文关键词:λ-系;σ-代数;概率测度;延拓

论文摘要: 测度论是现代的一个重要分支，在概率、随机过程、微分方程、微分几何中有广泛应用。测度理论是实变函数论的基础。集类知识与单调类定理是测度论中的基础，特别是单调类定理.这个定理是一个很要紧的定理.在后面证明测度唯一性定理，乘积测度存在定理等重要的定理中有涉及。在严加安老师的《测度论讲义》上这个定理有两个版本，目前该书是对单调类方法应用的最多的。有一些看起来很难的问题，也许用这个定理会相当简单.将定义在一个λ族上的概率测度延拓为包含该λ族的一个σ上的概率测度,在许多重要场合,特别是在学中有着十分重要的意义.关于这种延拓的存在性、唯一性等,给测度论提出了一系列新的理论课题,本文试图对λ族上概率测度的延拓问题作一些初步探讨.

的定义

设 为 上的一族非负有界函数，称 为 族，如果它满足下列条件：

(1)

；

且 有界 。

设C为 上的一族非负有界函数，我们用 表示包含C的最小 族，并称 为由C生成的 族。

证明：测度论中 的存在性及唯一性

b（ ） 有界 C b（ ）.

往证：包含C的 族最小存在，且唯一，记为 .

令 ︱ C, 是 族 .

由于 故 非空，记

（一） 是含C的 族

验证： ， 有界，必有 .

任意固定 故 .

又 有界，而 是 族，故 ，从而

（二）设 也是含C的 族，且是最小的。

显然 ， =

=

族性质的引申：设 为 上的一族非负有界函数，我们用 表示非负有界 可测函数全体，则下列二断言等价：

（1） ）= ；

（2）

Proof： ,首先设 成立

第一步：令 1 （#）

则：（a） 1

Proof：由（2）知：

1

(b) 1是 族

Proof:：由（a）知 ，若 1， ， 由定义

而 1

设 不变 均

即 1

设 1 ， 有界 则

1 1是 族

由（a）(b)知 1且 1 从而 1=

[1]

第二步：令 2= 2 （*）

则（a） 2 （b） 2是 族 （证法与上面（a）（b）类似略）

从而 2且 2 2

即 对乘积运算封闭 （*1）

第三步:令 ( )

则（a）F是 类 (b)F是 类

证明：（a） 则

F是 类

（b）

，

则

F是 类 从而F使 代数

第四步： 对有限个的下端运算封闭：

Proof：不妨设 （ 中元素均非负有界）

故

往证：（a） （b）

Proof：（a）依第二步 ，

（ｂ）事实A：对

则

归纳得 而 (事实A)

依2.2.2（4）

（c） ）

第五步： 要证 从而

Proof：设

由

为 可测，对

第六步：往证

设 ，则 有界且

依 的定义及第五步：

有界

第七步：往证

只要证（a） (b) 是 族

Proof：(a) , (显然)

证（b）：按 族定义逐条验证即可

综合第六，七步得 即（1）

设

（即 依然可测）

[2]