从共形映射角度看Schwarz引理

摘要：欧氏度量是解析函数满足Schwarz引理的关键，本文我们首先介绍了Schwarz引理和共形映射，然后介绍了Schwarz引理的一些推广形式，最后指出该引理也适用于在共性映射下保持不变性的几何度量。

关键词：共形映射；解析函数；Schwarz引理

一、引言

Schwarz引理是复分析中最基本的定理之一，在解析函数论、几何函数论、多元复分析或多复变函数论中应用广泛。Schwarz引理源于施瓦茨（H. A. Schwarz）利用共形变换研究黎曼映射定理等特殊结果时得到的范数不等式，关于Schwarz引理的研究有很多方面，主要涉及利用共形变换推广其形式及应用。本文首先介绍了在单位圆盘上的Schwarz引理和共形映射，然后根据欧氏度量在共性映照下的不变性，我们介绍了两个Schwarz引理的相应推广形式，并且指出在共形映照下保持不变性的几何度量能够满足相应的Schwarz引理。

三、共形映射

共形映射又称保角映射，是复变函数论的分支，它是从几何的观点来研究复变函数。下面将给出共形映射的定义。

定理3.1[4]，若f（z）是区域G到区域D上的解析保角的拓扑映照，则则f（z）称为G到区域D上的共形映射或者保形变换。

解析函数f（z）在导数不为零的解析点处是保角的，注意到拓扑映照是一一对应的映射，并且其与逆映射都是连续的，显然共形映射是双解析（全纯）函数，至关重要的是逆映射是自动解析的。若f（z）是保角的，则f（z）为单叶解析函数，故函数单叶解析与共形映射是等价概念。

定理3.3，共形等价有助于我们考虑比单位圆盘更广泛的几何区域，能够保证Schwarz引理的推广成为可能。

四、在共形映射下Schwarz引理的推广

将研究区域由单位圆盘推广到以原点为圆心、半径为任意长r的同心圆盘，通过自共形映射可以得到Schwarz引理的最常见推广形式。

定理4.4[3，6]，事实上非欧度量（距离、长度、面积）、伪距离和超双曲度量在共形映射下性质保持不变，我们可以得到对应的更一般Schwarz引理，例如Poincare度量。另外，在多复变函数论中Bergman度量、Caratheodory度量和Kobayashi度量在共形映射下也有类似的Schwarz引理的定理。需要指出的关键是，中国数学家陆启铿院士在把Schwarz引理从单复变推广到多复变领域。

参考文献：

[2]余家荣，路见可.复变函数专题选讲[M].北京：高等教育出版社，2012.

[3]张南岳，陈怀惠.复变函数论选讲[M].北京大学出版社，1995.

[4]郑建华.复变函数[M].北京：清华大学出版社，2005.

[6]Б.B.沙巴特.多复变函数论[M].第4版.北京：高等教育出版社，2008.