也谈初中数学教学中学段特征的辨别

如果注意比较观察，会发现义务教育阶段的多个学科在课程标准中都是具有学段特征的，数学自然也不例外――三个学段分别对应着1-3、4-6、7-9三个年级.学段特征作为一种经验性描述，其反映的是不同年龄阶段学生在数学学习中所表现出来的不同心理特征，亦即对于学段特征的辨别，关键在于对学生学习心理特征的辨别.在此基础上教师所呈现的教学内容是重复了前一阶段的认知，还是过分侧重生活现实，需要教师依据学生的心理特征去把握.本文试以圆的教学为例，谈谈初中几何教学中学段特征的辨别.

一、学段特征视角下圆的概念建立

“圆”是人教版初中数学九年级上册的教学内容.对于圆的概念与定义，九年级的学生既有丰富的感性经验，同时又缺乏理性认识.笔者在多年的初三教学中都做过调查与总结，发现在本课的教学之初让学生举出生活中圆的例子时，学生的思维十分活跃，无论是教材中的车轮等例子，还是教材之外天体的平面图形、餐桌上的碗口与盘子等，都是学生能够随口举出的例子.应当说如果从举例的角度来感知圆的话，这样的教学环节是前两个学段尤其是第二个学段就能胜任的工作.这就意味着对于九年级的学生而言，这一环节不必花费太多的时间，尽管其能激发学生的兴趣并调节课堂气氛.

因此，从九年级学生的心理特征角度来看，圆的教学过程中，概念构建的重心应当放在概念的定义生成上面.研究教材可以发现，初中教材对圆的定义还是非常形象的：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.这一定义方式可以看作是对作圆方式的一种描述，而这种方式与学生生活中作圆的方式稍有不同――更多情况下，学生的作圆要么是通过圆规，要么是用一个现成的圆物体描圆周.而学生的这一生活体验恰似可以当成教学素材，笔者在教学中让学生比较这三种作圆的方式，学生会发现圆规作圆的实质与教材定义一致，而描圆周可得圆却难以触及圆的实质.

在这样的比较过程中，学生实际上完成了一个对教材上圆的定义的精加工过程，这个过程对于九年级的学生而言是适切的.一方面他们的感性认识可以上升为理性认识，圆在他们的思维中不再是一个圆周，而是一个与圆心、半径、弧、角相联系的整体；另一方面这样的过程大部分可由学生自主完成，符合他们的学段特征.

二、例题选择运用需关注学段特征

“圆”这一节的知识并不复杂，而练习却是一个重要方面.当然，任何一个数学知识都需要练习来训练，但圆的知识稍有不同，一个重要的原因就在于关于圆的几何证明题难度可以达到很高的水平，且其又与生活关系密切，在新课中的例题选择往往需要兼顾学生的生活经验、数学经验以及相关的考试要求.

笔者在实际教学中首先向学生呈现了这样的一道原创题：如何确定一个盘子的圆心？在这一问题解决的过程中，学生的思维首先是从圆的定义出发的，于是学生的大脑中构建出了这样的一个几何动态形象：某线段一端点固定在盘子中心，然后另一端点正好围绕盘子的圆周旋转.学生也能迅速地发现，这一情形在大脑中构建是可以的，但在实际操作中想寻找到中间那个点是很困难的.

可以发现，这个时候学生的思维与学段基本上是适应的.而问题的解决遇到困难时，这一学段学生所具有的思维转换特点便显现了出来.不需要很长的时间，就有学生认识到本问题的解决关键在于确定一个到圆周上任意两点距离都相等的点.在教师的引导之下，学生的思维开始了由圆向构建属于圆的三角形或者线段，比如有学生提出可以在圆上任意作两个弦，这两个弦的中垂线的交点就应当是圆心.这一思维的转换在笔者看来是符合九年级学生的数学认知的，也说明本例题的呈现是恰当的.

在此基础上笔者又呈现了另一个例题：如图1所示，一个直径为650 mm的管道横截面，已知其内液体的液面宽度AB为600 mm，求液体的最大深度.

这一问题可以在学生的生活经验中寻找到原型，但又已经部分经过了数学抽象，没有抽象的就是问题中的“最大深度”对应着垂直于AB的弦在液面下部分的长度，而该长度的求解又需要学生在圆中构建一个三角形.这一转换对于九年级的学生来说是否适切呢？事实表明，认识最大深度是没有困难的，而构建直角三角形对于数学水平中等及偏下的学生来说略显困难，而这样的困难对于圆的新知学习而言其实也是恰当的，毕竟数学新知的学习需要学生基于原有认识，然后在数学问题的驱动之下思维能够达到一个新的高度.

三、基于学段特征的初中几何教学

反思类似于此的教学过程，笔者以为在初中数学教学中关注学段特征，有助于更好地理解数学知识与学生的关系.正如“圆”这一节的知识，在《义务教育数学课程标准》（2011版）中对三个学段有着不同的要求，而也正如有研究者指出的教材上的有些例题实际上是不太适合第三学段的.而根据笔者的实践，是不是符合某个学段，关键有二：一是教师要结合课程标准，以对教材上的内容进行识别与判断；二是要研究学生的原有认知基础（包括知识基础与生活经验）.在这两个关键的基础上，教师最好的选择就是结合最近发展区的教学理论，选择或编制能够让学生跳一跳摘得到的教学事例或例题.

需要注意的是，学段特征的辨别要与因材施教的理念结合起来，因为即使是同一学段的学生，其实际认知水平也有区别，将教学的视角从宏观转向微观，是学段特征辨别的有益注解.