浅谈初中数学几何证明的三种思维

摘 要：几何证明在初中数学中属于较为重要的科目，严重影响着数学成绩，因此，在几何证明的学习过程中，掌握必要的解题方法与思维方式是非要有必要的。主要对几何证明中使用的三种思维进行了探讨，分别为正向思维、逆向思维、正逆结合。

关键词：初中数学；几何证明；正向思维；逆向思维；正逆结合

在初中数学学习中，最为困扰学生的难题就是几何证明，这是令很多学生都很头疼和焦虑的问题。其实，对于几何证明题目，只要认真分析题中已知条件，清楚地掌握解题的技巧与方法，几何证明并没有那么可怕，以下主要对初中数学几何证明中三种思维进行浅谈，作为今后学习的参考。

一、正向思维

在一般几何证明题中，对于一些简单题目，正向思维方式应用得比较多，求证过程相对简单、容易，从已知条件入手，向着证明结果进行逐步推理即可，比如，证明：等腰三角形两底角的角平分线相等。正向思维过程：根据题意可知在等腰三角形ABC中，AB=AC，角平分线分别为BD和CE，最终结果就是求证：BD=CE，如图1所示。

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图1 等腰三角形ABC

求证过程：已知：AB=AC，

由等边对等角得：∠ABC=∠ACB.

已知：角平浅谈初中数学几何证明的三种思维

张祥飞

∠ACE=∠ABD

因此，角边角定理可知：三角形BEC和三角形CDB全等。

由全等三角形的对应边相等可得：BD=CE。

二、逆向思维

在解题过程中，学生在思考问题时，可以选择不同的方法、不同的角度，对解题方法进行探索，有助于学生解题思路的拓展。比如，在讲授勾股定律一课时，有这样一道证明题：

求证：■+■=■

在讲解过程中，应该利用逆向思维，从结论入手，这样可以消除不必要的运算，即，对结论进行变形，此方法简单方便。

证明如下：■+■=■

将等式左边两项进行合并：■=■，在直角三角形ABC中，有AC2+AB2=BC2

因此，原式可以变形为：■=■

交叉相乘可得：AB2・AC2=BC2・CD2

使用积的乘方的逆运算可得：（AB・AC）2=（BC・CD）2

因此，AB、BC、AC、CD均为三角形的边，都是正数，由上式可得：AB・AC=BC・CD

进而，便可求得证明结果：■+■=■

三、正逆结合

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图2 梯形ABCD

解题过程如下：作AM平行于BD，交点M在CD的延长线上，可得到平行四边形AMDB，即AM=BD，由于三角形ADM与三角形ADB的面积相等，再加上AB平行于CD，可知三角形ABC与三角形ADB的面积相等，所以，梯形ABCD的面积等于三角形AMC的面积。

因此，在三角形AME中，ME=■=9

在三角形AEC中，EC=■=16

即，梯形ABCD的面积等于三角形AMC：S△AMC=12×（9+16）×■=150

四、在初中数学几何证明中应用三种思维方式的重要性

随着新课程标准的逐步推进，初中数学教学的重要目标就是培养学生的数学思维能力和应用能力。在实际教学中，通过实例，将三种思维方式融入解题中，充分拓展学生的思维，对几何证明题目进行观察、分析、归纳和操作。在解题过程中，体验几何证明题的挑战性和探索性，在思考过程中，感受几何证明的条理性和结论的确定性，不断培养学生思维的创造性与灵活性，进而开拓学生的逻辑思维能力。

在初中数学学习中，学生对几何证明题感到困难是普遍存在的问题，尤其对于一些较为复杂且难度较大的题目，更是无从下手。在几何证明中，不论是正向思维还是逆向思维，都需要正确的证明思路，经过不同思维方式的应用，便可对题目中的已知条件进行充分利用。正逆结合通常又称为综合法，在解题过程中应用得比较多，多数证明题目都需要正向思维与逆向思维的结合，使用单一思维方式的题目比较少。正逆结合是指从题目的已知条件出发，确定相应的定理、定义，即寻找解题的依据，进而进行逐步推理，直到得出证明的结论为止。逆向思维是指从题目的结论出发，对结论成立的条件进行探索，经过逐步推理，找出所需的条件，直到已知条件出现为止。正逆结合的缺点在于进行推理的思路过多，题目中需要的定理也比较多，学生往往感到无从下手。而逆向思维法，首先认定结论，在倒推的过程中，启发思考，针对明确的目的进行相应的推理，便可了解推理的依据，进而使人了解到整个思维过程。对于一些较为复杂的证明题，“两头凑”的思维方式应用得也比较多，首先从已知条件出发，对多种结论进行推理，再从已知题目中的结论出发，对所需的条件进行推理，进而寻找两者之间的差距，便可得到相应的证明思路，达到求解目的。

综上所述，在求证几何题目之前，对于题目给出的已知条件应该详细分析，对题目中的已知图形进行详细观察，针对题目的具体情况，选择合适的解题思维，探寻新的证明思路，不断提升自身的解题能力。

参考文献

[2]冯国平.平面几何证明的三种思维模式[J].天水师范学院学报，2014

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