带高频信息及交互效应的波动率模型
摘 要：本文利用股票市场的高频数据波动率预测，采用隔夜波动率和交易时段波动率预测模型，其中，隔夜波动率模型考虑了周末效应对波动率的影响，在交易时段波动率模型中，“已实现波动率”采用基于周平均收益率的函数系数形式，以考察短期收益与高频信息的交互影响，建立了函数系数GARCH模型。基于上证综指的实证分析显示，隔夜波动率存在明显的周末效应，交易时段波动率“杠杆效应”显著，短期收益与高频信息存在显著的非线性交互作用。
关键词：波动率预测;隔夜波动率;周末效应
一、引言
股市的波动及相关特征是金融领域的一个重要主题和研究热点，它在有效资产组合的选择、金融衍生工具的定价及金融风险管理中起到了关键的作用。例如，在期权定价方面， 标的资产的波动率是决定期权价格的一个重要变量;在风险管理方面，条件VaR（value at risk） 的计算，都会涉及到波动率的估计和预测。当前和今后的一段时间内，我国将不断的推出新的金融产品以优化金融市场产品结构，这些金融产品的估值和监管者对其风险的管控都或多或少地涉及其波动率这一关键变量波动率准确的估计和预测对我国金融市场健康发展和平稳运行具有现实意义。
现有的研究结果表明基于高频信息的“已实现波动率”对波动率有很强的预测作用。周收益率为代表的短期收益能反映近期市场行情，而市场行情的改变常常会导致结构突变等问题。同时注意到，在现有的波动率预测模型中用于波动率预测的信息都采用叠加的形式（additive），而信息之间的交互作用（interactive）一直没被考虑。为此，本文建立“已实现波动率”的系数为周收益率的函数的函数系数预测模型以考察短期收益与高频信息在预测波动率时的交互作用，并部分缓解结构突变问题和提高预测精度。
二、模型构建
本文考虑当前最常见的资产价格模型（由于考虑是超额收益率，所以模型中剔除了趋势项）
d（log P■）=σ■dW■
（1）
其中，s∈[0，+∞），Ps表示资产价格，Ws为标准的布朗运动，σ■的样本轨迹满足Lipschitz连续条件的随机过程。故定义第t天的收益率，隔夜收益率和交易时段收益率分别为：
r■=log（P■■）-log（P■）=■σ■dW■
（2）
r■■=log（P■■）-log（P■）=■σ■dW■
（3）
r■■=log（P■■）-log（P■）=■σ■dW■
（4） 其中，tc表示第t天的收盘时间，t0表示第t天的开盘时间，令Ft=σr■，RV■…，r■，RV■表示第t天所能观察到的信息，则r■关于F■是一列鞅差。因此有E[r■|F■■]=0，E[r■■|F■■]=0及E[r■■|F■■]=0。设它们的条件方差分别为h■=νar[r■|F■]，h■■=νar[r■■|F■]和h■■=νar[r■■|F■]。因此全天收益率的条件方差有
h■=E[r■■■|F■]=E[（r■■+r■■）■|F■]
=E[（r■■）■|F■]+E[（r■■）■|F■]+2E[r■■r■■|F■]
=h■■+h■■■+2E[r■■E[r■■|F■■]|F■]
其中，F■■=σRV■，r■■，r■■，…，RV■，r■■，r■■，F■■=σRV■，r■■，r■■，…，RV■，r■■，r■■
由于E[r■■E[r■■|F■■]|F■]=0，所以我们得到了整天的、隔夜的和交易时段的收益率的条件方差之间的重要关系：
h■=h■■+h■■
（5）
式
（5）通过估计隔夜波动率和交易时段波动率，得到传统的整天波动率的估计。
（一）隔夜波动率模型
通过分析上海股票市场的隔夜收益率平方生存函数，发现周一①的隔夜收益率平方明显的大于其他时间的，对周一的数据伸缩变换比对其进行平移变换更能消除这种周末效应，故采用式
（6）来刻画周末效应的影响。
（r■■）■=（1+λM■）（■■■■■）■
（6）
其中，Mt为哑变量t为周一时取1，其它为0， λ为未知参数。
假设剔除周末效应的隔夜收益率■■■■■的条件标准差νt满足式
（7）的一阶自回归结构。
■=ω■+α■|■■|+β■■+τ■RV■+κ■r■
（7）
其中，已实现波动率采用子样本平均的方法估计①
RV■（m）=■
（8）
在式
（7）中加入前一天的已实现波动率和收益率，是为了考察前一天的市场波动情况和收益情况对隔夜波动率影响的大小。由于数据有迹象表明绝对值比其平方表现出有更强的序列相关性，因此，采用的绝对值，而不是的平方，综合式
（6）、式
（7）有
■=（1+λM■）■=（1+λM■）×
ω■+■+τ■RV■+κ■r■
（9）
令M■=Tuet表示第t 天为周二时取值为1，其他为0，故关于隔夜波动率的模型为
■= （1+λM■）×
ω■+■+τ■RV■+κ■r■
（10）
从式
（10）可知，当第t个交易日是周一时，式
（10）可写成
■=（1+λ）ω■+α■|r■|■+β■■+τ■RV■+κ■r■
（11）
通过（1+λ）对周一的波动率进行放大以刻画周末效应。当第 t 个交易日是周二时，式
（10）可写成
■=ω■+（α■|r■|■+β■■）/（1+λ）+τ■RV■+κ■r■
（12）
当第t个交易日是周二时，由于受周末效应的影响周一的数据|r■■|■，h■■都比其他时间的要大一些，故通过除以（1+λ）剔除这种影响非常必要。
（二）交易时段波动率模型
鉴于ARCH类模型在刻画波动率的长相关性和丛簇特征的成功表现，以及交易时段波动率长相关性等特征，本文采用ARCH类模型框架进行建模。当前波动率建模遇到的新问题有：可用于预测的信息日益丰富，但这些信息在预测波动率时可能存在相互作用。另一方面，常数参数波动率模型常常备受结构突变的困扰，而市场行情的变化容易引起结构突变，例如，陆蓉和徐龙炳（2004）的研究证实了我国股票市场在牛市和熊市阶段对“利好”和“利空”有不同不平衡性反应特征[19]。由于周收益率能反映近期市场行情，故采用基于周收益率的变系数模型以缓解常数系数模型的结构突变问题，即部分重要预测变量的系数是周平均收益率的函数，这可以理解为高低频两个信息的相互作用，故采用如下模型。
h■■=ω■+α■（r■■）■+g（r■）RV■■+β■h■■+γr■■RV■
（13）
其中， ω■>0，α■>0，β■>0，γ∈R为未知参数， g（r■■）>0有二阶有限导数的未知函数。r■=■r■/5是周平均收益率。
函数g（・）刻画已实现波动率的系数周收益率变化的情况，从而优化模型的预测能力。也有反映这两个量在预测波动率时的交互作用的味道很明显，g（・）还具有模型选择的功能，因为在给定一个周平均收益率r■■就对应着一个已实现波动率系数为（r■■）的GARCH-X模型，故模型能根据周平均收益率选择较优的GARCH-X模型去估计波动率，从而能部分缓解常系数模型的结构突变问题，故我们把g（・）称为“模型选择曲线（Model Selected Curve ）”。如果g（・）是个常数函数，交互项“ r■RV■” 的系数为零，那么模型将退化为我们所熟悉的GARCH-X模型，此模型可认为是GARCH-X模型的一般化。因为不同市场可能对应着不同的“模型选择曲线”g（・），故可以通过“模型选择曲线”g（・）了解市场的部分异质特征。此外，模型引入交互项“r■RV■”以刻画市场的“杠杆效应”。
三、模型估计
关于隔夜波动率模型式
（10），只需用极大似然估计方法可得参数的一致估计，这里不再赘述。交易时段波动率模型估计的主要困难来自未指定的未知函数g（・）。所以首先需要估计未知函数g（・）。注意到式
（13）中的变量 h■■是观察不到的潜在变量，这是我们估计g（・）的困难所在，解决的办法是找一个能观察得到的量来替代h■■。注意到式
（8）定义的已实现波动率有
■■RV■（m）■=■σ■■ds
（14）
另一方面，又有
h■■=E（[■σ■■dW■]■│F■）=E（■σ■■ds│F■）
（15）
从式
（14）和式
（15）中可以看出h■■是■■RV■（m）■在的投影，所以只要数据的频率足够大近似的有
RV■■=h■■+υ■， υ■┴F■，υ■∈F■
（16）
其中，υ■可以看做测量误差，这个误差主要是由于是市场微观结构噪声引起的，RV■■是潜在变量h■■一个测量值。把式
（16）代入式
（13）有
RV■■=ω■+G（r■）RV■■+ε■
（17）
其中，G（r■）=β■+g（r■），ε■=υ■-β■υ■。由于E（RV■■ε■）≠0，故式
（17）中的RV■是内生变量。由于υ■是主要由市场微观结构噪声引起的测量误差，它主要跟数据的频率有关系。因此可以认为r■和资产收益率的日内极差Rt-1均为为外生变量，其中R■=log（maxP■■■）/minP■■■，这成为了带有内生变量的半参数模型，在估计上已经有许多成熟的方法了。在估计过程中我们使用工具变量Rt-1，最后用估计出来的■（・）和■■代回式
（13）并用极大拟似然估计的方法估计参数。
四、实证分析
（一）隔夜收益率波动率模型的参数估计
应用拟极大似然估计的方法和上述数据，得到的估计结果（见表2）。从模型参数的估计结果来看，周末效应的参数的估计值是0.566 而且是显著，这表明周一的隔夜波动率平均要比其他交易日的高出近57%。α0的估计结果表明，今天的隔夜收益率水平对明天的隔夜波动率有显著的预测效果，这可以解释为在较短的时期内，从收盘到第二天开盘这个时间段所到达的信息量一般变化不会太大，故作为对信息量做出反应的隔夜收益率水平对下一个隔夜收益率的水平有一定的预测性或隔夜波动率具有较强的持续性即长相关性。其他参数的结果表明已实现波动和整天的收益率对第二天的隔夜收益率的波动率预测是不显著的，所以可以得出结论，已实现波动率和整天的收益率对第二天的隔夜波动率的影响是不明显的。
（二）交易时段收益率波动率模型的估计
从图1 “模型选择曲线g（・）”的估计发现：一是周平均收益率与“已实现波动率”的交互作用非常明显，而且是非线性的。从其形状可以看出，其在0附近时取较小，并随周平均收益率的涨幅或跌幅的放大而急剧增大，这说明放弃已有模型采用函数系数形式非常必要。究其原因主要是，周平均收益率在0附近的情形很大的可能是发生在市场比较平静的时候，故这个时段的波动率也比较小，持续性相对比较强，而绝对周平均收益率水平比较高，大多发生在大涨或大跌时期，这个时期市场的波动通常波动比较大，故持续性相对比较弱。这些可以认为市场共性的东西。二是“模型选择曲线g（・）”有非常明显的不对称，周平均收益率收涨时g（rt-5：t-1）的取值明显要比收跌时的大，而且暴跌时非对称更显著。这很可能跟中国的市场在很长的一段时间投资者只能做多不能卖空有关， 因为周平均收益率大幅收跌，表明市场近期出现较大的跌幅，悲观情绪比较浓，投资者看空要远大于看多。但是中国的市场之前是不能卖空的，故压抑了交易热情，通常交易量会有明显的萎缩，故市场的波动缺乏动力，因此市场波动性不如其收涨时高。如果周平均收益率出现极大幅度的收跌时，可能有很多投资者已经被套牢了，再也不大愿意大幅减仓了，此时政府也可能会干预，这时市场的波动率通常处在一个相对比较稳定的水平，故持续性也相对走强，而收涨时几乎不受这方面因素的影响。这些可以被认为市场个性的东西，这里想强调的是 “模型选择曲线”能部分的刻画市场的异质特征。
从图2可知，取值主要集中在0.35～0.65之间。此外，还可以画出其散点图以观察其在不同时间段的分布情况。
（三）模型预测精度比较
（1）样本内预测精度比较
把所以2926个交易日的数据都作为估计样本得到的拟合值■■=■和σ■评价标杆进行比较，得到评价结果如表4。从比较结果可以看到，本文所提出的模型的各类预测指标都远小于其他模型。这意味着本文的新模型在样本内的拟合度是优于其他模型。这也是情理之中的，因为其他模型只是一个参数模型，而新模型是每天通过“模型选择曲线g（・）”选择一个较优的参数模型进行预测，所以效果较好。
（2）样本外预测精度比较
五、结论
本文利用上证综指1分钟的高频数据进行股票市场的波动率预测，根据数据特点采用隔夜波动率和交易时段波动率分开建模估计的方法。在隔夜波动率模型，考察了周末效应对波动率的影响，模型估计得出的结论是，隔夜波动率的周末效应是显著的，即周一的隔夜波动率平均要比其他交易日的隔夜波动率高出近57%。这个发现能为投资者是否周末持仓和风险管理者评估周末隔夜风险提供一点参考。同时，发现已实现波动率对隔夜波动率的影响几乎没有，而日收益率虽然有一定影响但是不显著。
在交易时段波动率模型，考察了已实现波动率与周平均收益率及日收益率的交互作用对波动率预测的影响的基础上，建立了交互GARCH模型和提出了“模型选择曲线”的概念。 从模型的估计结果来看，市场在所讨论的样本区间日收益率和已实现波动率是有显著的交互作用的，而且交互项的估计暗示着市场存在“杠杆效应”。更重要的是，可以从“模型选择曲线”读出许多市场共性和个性的东西。同时模型能部分的缓解ARCH类模型的结构突变的问题。实证分析结果表明新模型在预测能力无论在样本内还是在样本外都明显优于其他模型，这说明在模型中考虑交互作用的影响对提高波动率的预测精度是有很大的帮助的。■