2023年用二分法求方程的近似解课件 3.1.2用二分法求方程的近似解通用

1.下列函数零点不宜用二分法的是()

a.f(x)=x3-8 b.f(x)=lnx+3

c.f(x)=x2+22x+2 d.f(x)=-x2+4x+1

【解析】 由题意知选c.

【答案】 c

2.用二分法求方程f(x)=0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的根在区间()

a.(1.25,1.5) b.(1,1.25)

c.(1.5,2) d.不能确定

【解析】 由题意知f(1.25)f(1.5)0，方程的根在区间(1.25,1.5)内，故选a.

【答案】 a

3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：

f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984

f(1.375)=-0.260 f(1.437 5)=0.162 f(1.406 25)=-0.054

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为________.

【解析】 根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，

因为此时|1.437 5-1.406 25|=0.031 250.1，故方程的一个近似根可以是1.437 5.答案不唯一，可以是[1.437 5,1.406 25]之间的任意一个数.

【答案】 1.437 5

4.求函数f(x)=x2-5的负零点(精确度0.1).

【解析】 由于f(-2)=-10，

f(-3)=40，

故取区间(-3，-2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如图：

区间 中点 中点函数值(或近似值)

(-3，-2) -2.5 1.25

(-2.5，-2) -2.25 0.0625

(-2.25，-2) -2.125 -0.484 4

(-2.25，-2.125) -2.187 5 -0.214 8

(-2.25，-2.187 5) -2.218 75 -0.077 1

由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 50.1，

所以函数的一个近似负零点可取-2.25.

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.方程12x=ln x的根的个数是()

a.0 b.1

c.2 d.3

【解析】 方法一：令f(x)=ln x-12x，

则f(1)=-120，f(e)=1-12e0，

f(x)在(1，e)内有零点.又f(x)在定义域(0，+)上为增函数，

f(x)在定义域内仅有1个零点.

方法二：作出y=12x与y=ln x的图象观察可知只有一个交点.故选b.

【答案】 b

2.方程2x-1+x=5的解所在的区间是()

a.(0,1) b.(1,2)

c.(2,3) d.(3,4)

【解析】 令f(x)=2x-1+x-5，则f(2)=2+2-5=-10，f(3)=22+3-5=20，从而方程在区间(2,3)内有解.故选c.

【答案】 c

3.利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：

x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4

y=2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556

y=x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56

那么方程2x=x2的一个根所在区间为()

a.(0.6,1.0) b.(1.4,1.8)

c.(1.8,2.2) d.(2.6,3.0)

【解析】 设f(x)=2x-x2，由表格观察出在x=1.8时，2xx2，即f(1.8)在x=2.2时，2x

【答案】 c

4.函数f(x)=ex-1x的零点所在的区间是()

a.0，12 b.12，1

c.1，32 d.32，2

【解析】 f(12)=e-20，

f(1)=e-10，

∵f(12)f(1)0，

f(x)的零点在区间12，1内，故选b.

【答案】 b

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)f(4)0，给定精确度=0.01，取区间(2,4)的中点x1=2+42=3，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0________(填区间).

【解析】 由f(2)f(3)0可知.

【答案】 (2,3)

6.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的`实数根时，取区间中间x0=2.5，那么下一个有根区间是________.

【解析】 ∵f(2)0，f(2.5)0，

下一个有根区间是(2,2.5).

【答案】 (2,2.5)

三、解答题(每小题10分，共20分)

7.求方程2x3+3x-3=0的一个近似解(精确度0.1).

【解析】 设f(x)=2x3+3x-3，经试算，f(0)=-30，f(1)=20，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有实数解，取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，又f(1)0，所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解.

如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表：

(a，b) (a，b)的中点 f(a) f(b) fa+b2

(0,1) 0.5 f(0)0 f(1)0 f(0.5)0

(0.5,1) 0.75 f(0.5)0 f(1)0 f(0.75)0

(0.5,0.75) 0.625 f(0.5)0 f(0.75)0 f(0.625)0

(0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)0 f(0.75)0 f(0.687 5)0

因为|0.687 5-0.75|=0.062 50.1，所以方程2x3+3x-3=0的精确度为0.1的一个近似解可取为0.75.

8.求方程ln x+x-3=0在(2,3)内的根(精确到0.1).

【解析】 令f(x)=ln x+x-3，即求函数f(x)在(2,3)内的零点.

用二分法逐步计算.列表如下：

区间 中点 中点函数值

[2,3] 2.5 0.416 3

[2,2.5] 2.25 0.060 9

[2,2.25] 2.125 -0.121 2

[2.125,2.25] 2.187 5 -0.029 7

[2.187 5,2.25]

由于区间[2.187 5,2.25]的长度2.25-2.187 5=0.062 50.1，所以其两个端点的近似值2.2就是方程的根.

9.(10分)在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在?

如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢!想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理?

【解析】

他首先从点c查，用随身带的话机向两端测试时，发现ac段正常，断定故障在bc段，再查bc段中点d，这次发现bd段正常，可见故障在cd段，再查cd中点e.

这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障发生的范围缩小到50 m～100 m之间，即一两根电线杆附近.

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